Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.3.1 Estructura k-cosimpléctica. 289
7.3.1. Estructura k-cosimpléctica.
Comenzamos esta sección introduciendo un endomorfismo vertical en R k × T 1 k Q
asociado a una conexión ∇. Cuando consideramos la conexión trivial este endomorfismo
coincide con el endomorfismo vertical S A introducido en el la sección 6.2.1.C.
En primer lugar, tenemos los siguientes difeomorfismos naturales:
(1) Un difeomorfismo entre J 1 ˆπ R k = R k × T 1 k Q y (ˆπ R k)∗ (T ∗ R k ) ⊗ (ˆπQ) ∗ (T Q), que
son dos fibrados vectoriales sobre R k × Q.
Recordemos que el fibrado R k × T 1 k Q → Rk × Q fue introducido en la sección
6.2.1 del capítulo anterior.
Por otra parte,
es el fibrado producto tensor de
y
(ˆπ R k) ∗ (T ∗ R k ) ⊗ (ˆπQ) ∗ (T Q) → R k × Q
((ˆπ R k) ∗ (T ∗ R k ), (ˆπ R k) ∗ (πQ), R k × Q)
((ˆπQ) ∗ (T Q), (ˆπQ) ∗ τQ, R k × Q)
siendo ˆπQ : R k × Q → Q un fibrado vectorial.
Un elemento del espacio total del fibrado producto tensor que estamos considerando
se puede escribir, en coordenadas, de la forma:
f i
A dt A ⊗ ∂
∂qi (t,q)
.
Podemos establecer un difeomorfismo natural entre los fibrados
J 1 ˆπ R k = R k × T 1 k Q y (ˆπ R k) ∗ (T ∗ R k ) ⊗ (ˆπQ) ∗ (T Q),
el cual está definido como sigue:
dado por
f i A
(ˆπ R k) ∗ (T ∗ R k ) ⊗ (ˆπQ) ∗ (T Q) → R k × T 1 k Q
dt A ⊗ ∂
∂qi (t,q)
↦−→ (t, f i ∂
1
∂qi
, . . . , f
q
i k
∂
∂qi
)
q