Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

108 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
Como ocurría en el caso particular anterior, en este contexto estas ecuaciones
son equivalentes a las ecuaciones geométricas no-holonómicas (3.8).
Escribimos la primera ecuación de (3.23) como sigue
y cada XA como
k
A=1
a ∂
XA = (xA)
∂q
ıXA ωA L − dEL =
m
λα (τ k Q) ∗ ϕα
α=1
α ∂
+ (XA) a ∂qα + (xA) a ∂
B
∂ua + (XA)
B
α ∂
B
∂vα B
De (3.23) y teniendo en cuenta que el lagrangiano L es regular deducimos las
tres identidades siguientes:
∂ 2 L
u b A
∂qb∂u a A
+ v β
∂ 2 L
u b A
∂qb∂v α A
∂ 2 L
∂ 2 L
A
∂qβ∂u a + (xA)
A
b B
∂vb B∂ua A
+v β
∂ 2 L
∂ 2 L
A
∂qβ∂v α +(xA)
A
b B
∂ub B∂vα A
+ (XA) β
B
+(XA) β
∂ 2 L
∂v β
B ∂ua A
B
∂ 2 L
∂v β
B ∂vα A
.
− ∂L
∂q a = −λβΓ β a , (3.24)
− ∂L
∂q α = −λα , (3.25)
(xA) a = v a A , (XA) α = v α A . (3.26)
Si ψ : U0 ⊂ Rk → T 1 k Q, ψ(t) = (ψa (t), ψα (t), ψa A (t), ψα A (t)), es una sección
integral de X = (X1, . . . , Xk), entonces de (3.24), (3.25) y (3.26) deducimos que ψ
es solución de las ecuaciones
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂ψa
(ψ(t)) =
∂tA
t
k ∂
∂tA
∂L
v a A
A=1
k
A=1
∂va
A ψ(t)
∂
∂tA
∂L
∂vα
A ψ(t)
; vα ∂ψα
A (ψ(t)) =
∂tA
t
− ∂L
∂qa
= −λα Γ
ψ(t)
α a(τ k Q(ψ(t)))
− ∂L
∂qα
ψ(t)
= −λα