Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

292 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
Observación 7.18 De (7.36) observamos que si ∇ es la conexión trivial entonces
S A ∇ = SA .
A continuación vamos a introducir, a partir de S∇, las 2-formas (ωL) 1 ∇ , . . . , (ωL) k ∇
que formarán parte de la estructura k-cosimpléctica que definiremos en esta sección.
En el formalismo lagrangiano k-cosimpléctico estándar hemos definido las formas
lagrangianas por
θ A L = dL ◦ S A , A = 1 . . . , k .
Puesto que ahora tenemos una conexión ∇ y los endomorfismos SA ∇ , definimos,
Q como sigue:
de modo análogo, las 1-formas (θL) A ∇ en Rk × T 1 k
(θL) A ∇ = dL ◦ S A ∇, 1 ≤ A ≤ k,
las cuales tienen la siguiente expresión local
(θL) A ∇ = ∂L
∂vi (dq
A
i − Γ i B dt B ), 1 ≤ A ≤ k. (7.37)
Definimos en Rk × T 1 k Q las 2-formas,
(ωL) A ∇ = −d(θL) A ∇.
La expresión local de las 2-formas (ωL) A ∇
es la siguiente,
(ωL) A ∇ = dq i
∂L
∧ d + d Γ i
∂L
B ∧ dt B
∂v i A
Observación 7.19 Recordemos que en caso estándar se verifica (F L) ∗ θ A = θ A L
modo análogo, en este caso se demuestra que
∂v i A
(θL) A ∇ = (F L) ∗ θ A ∇, A = 1 . . . , k ,
⋄
(7.38)
como consecuencia de las expresiones locales (6.24), (7.21) y (7.37) de F L, θA ∇ y
(θL) A ∇ . Como consecuencia de la identidad anterior también se verifica que
(ωL) A ∇ = (F L) ∗ (ω A ∇) .
. De