Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.1.1 Fundamentos geométricos. 227
k
(2) ( ker η A k
) ∩ ( ker ω A k
) = {0}, dim( ker ω A ) = k,
A=1
A=1
se denomina estructura k-cosimpléctica, y la variedad M variedad k-cosimpléctica.
El modelo canónico de las variedades k-cosimplécticas es R k × (T 1 k )∗ Q con la
estructura (η A , ω A , V, 1 ≤ A ≤ k) definida en (6.1). Además, para un sistema de
coordenadas locales (t A , q i , p A i )1≤i≤k, 1≤A≤k las formas diferenciales η A , ω A tienen las
expresiones locales dadas en (6.2).
Para una variedad k-cosimpléctica arbitraria M, M. de León et al. en [83] han
demostrado que existen sistemas locales de coordenadas en M que permiten expresar,
localmente, las formas η A , ω A de un modo análogo a (6.2). Esto se recoge en el
siguiente teorema:
Teorema 6.2 (Teorema de Darboux k-cosimpléctico) Si (M, η A , ω A , V ) es una variedad
k-cosimpléctica entonces en un entorno de cada punto x ∈ M existe un
sistema local de coordenadas (t A , x i , y A i ; 1 ≤ A ≤ k, 1 ≤ i ≤ n) tal que
y además
A=1
η A = dt A , y ω A = dx i ∧ dy A i
∂
V =
∂y 1 i
, . . . , ∂
∂y k
.
i i=1,...,n
Dicho sistema de coordenadas se llama sistema de coordenadas adaptado.
Para cualquier estructura k-cosimpléctica (η A , ω A , V ) en M, existe una familia de
k campos de vectores {RA, 1 ≤ A ≤ k} caracterizados por las condiciones siguientes
ıRA ηB = δ B A, ıRA ωB = 0, 1 ≤ A, B ≤ k .
Estos campos se denominan campos de vectores de Reeb asociados a la
estructura k-cosimpléctica. En el modelo canónico RA = ∂/∂t A , A = 1, . . . , k.