Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

90 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
Entonces, P (X1
L
), . . . , P (X
M
k
L
) es una solución de las ecuaciones geométri-
M
cas lagrangianas no-holonómicas (3.8) si, y sólo si,
k
A=1
ı P (X A L
ω
)
M
A L − dEL ∈ 〈η A α 〉1≤α≤m, 1≤A≤k .
Para probar la relación anterior utilizaremos que XL es solución de la ecuación
geométrica de Euler-Lagrange (1.45) y la expresión (3.4) que define los campos de
vectores Zα. En efecto
k
A=1
= −
=
ı P (X A L
k
A=1
ω
)
M
A L − dEL =
ı Q(X A L
ω
)
M
A L = −
k
λ α Aη A α ∈ 〈η A α 〉 .
A=1
Así se obtiene que XL,M =
P (X 1 L
k
ı
XA L −Q(X
M
A
ω
L )
M
A L − dEL
k
ı α
λA Zα ωA k
L = −
A=1
A=1
A=1
λ α Aı Zα ωA L
), . . . , P(X
M
k
L
) es una solución de (3.8).
M
Observación 3.8 En el caso particular k = 1, correspondiente a la Mecánica lagrangiana
Autónoma, los resultados de esta sección pueden encontrarse en el trabajo
de M. de León, J. C. Marrero y D. Martín de Diego [69].
3.3. La ecuación momento no-holonómica
En esta sección a cada simetría lagrangiana no-holonómica le asociamos cierta
ecuación en derivadas parciales que debe satisfacer toda solución del problema noholonómico
satisface. Esta ecuación se llama ecuación momento no-holonómica y
juega el papel de las leyes de conservación en el caso en el que no hay ligaduras.
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