Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

244 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
cuya expresion local es
S A = ∂
∂v i A
⊗ dq i − v i A
∂
∂v i A
⊗ dt A , 1 ≤ A ≤ k . (6.19)
Los tensores S A nos permitirán caracterizar ciertas ecuaciones en derivadas parciales
de segundo orden definidas en R k × T 1 k Q.
D. Formas lagrangianas.
De modo análogo a lo que ocurre en los sistemas mecánicos, con los campos
de tensores canónicos que acabamos de definir y dada L : Rk × T 1 k Q → R una
función denominada función lagrangiana, se definen las k 1-formas diferenciales
en Rk × T 1 k Q
θ A L = dL ◦ S A , 1 ≤ A ≤ k (6.20)
y a partir de ellas las k 2-formas diferenciales
que llamaremos formas lagrangianas en R k × T 1 k Q.
ω A L = − dθ A L , 1 ≤ A ≤ k , (6.21)
En un sistema local de coordenadas (t A , q i , v i A )A=1,...,k;i=1...,n de (6.17) y (6.20) se
obtiene
y así de (6.21) y (6.22) obtenemos
θ A L = ∂L
∂v i dq
A
i , 1 ≤ A ≤ k (6.22)
ω A L = ∂2L ∂tB∂v i dq
A
i ∧ dt B + ∂2L ∂qj ∂vi dq
A
i ∧ dq j + ∂2L ∂vi B∂vi dq
A
i ∧ dv i B . (6.23)
Las formas lagrangianas que se acaban de introducir están relacionadas con las
formas canónicas θA , ωA , 1 ≤ A ≤ k de Rk × (T 1 k )∗Q (definidas en (6.1)) mediante
la aplicación de Legendre asociada a la función lagrangiana L : Rk × T 1 k Q → R.
Definición 6.18 Sea L : Rk × T 1 k Q → R un lagrangiano, la aplicación de Legendre
F L : Rk × T 1 k Q −→ Rk × (T 1 k )∗Q se define como sigue:
F L(t, v1q, . . . , vkq) = (t, [F L(t, v1q, . . . , vkq)] 1 , . . . , [F L(t, v1q, . . . , vkq)] k )