Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

274 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
La descomposición en suma directa (7.4) induce la siguiente descomposición
X(R k × Q) = Im∇ ⊕ Sec(R k × Q, V (ˆπ R k))
de modo que todo campo de vectores X ∈ X(R k × Q) se descompone en sus componentes
horizontal y vertical:
Localmente, si
X = h(X) + v(X) = ∇(X) + (X − ∇(X)) .
X = XA
∂ ∂
+ Xi
∂tA ∂qi ∈ X(Rk × Q)
donde XA, Xi ∈ C∞ (Rk × Q) entonces
∂
h(X) = XA
∂tA + Γi ∂
A
∂qi
, v(X) = (X i − XAΓ i A) ∂
.
∂qi (7.5)
Para finalizar esta sección recordamos la definición de curvatura de una conexión.
Este concepto será necesario en las secciones 7.2 y 7.3 de este capítulo.
Definición 7.4 (Saunders [125]). La curvatura de una conexión ∇ es la aplicación
R∇: X(R k × Q) × X(R k × Q) → X(R k × Q) definida como sigue:
R∇(X1, X2) := (id − ∇)([∇(X1), ∇(X2)]) = ı[∇(X1),∇(X2)](id − ∇)
para cada X1, X2 ∈ X(R k × Q).
Usando la expresión en coordenadas de la forma de la conexión ∇, un sencillo
cálculo nos lleva a la siguiente expresión:
R = 1
i ∂ΓA 2 ∂tB − ∂ΓiB ∂Γ
+ Γj
∂tA B
i A ∂Γ
− Γj
∂qj A
i B
∂qj
(dt A ∧ dt B ) ⊗ ∂
. (7.6)
∂qi A. Levantamiento horizontal
A continuación vamos a recordar el levantamiento horizontal de campos de vectores
en R k a campos de vectores en R k ×Q. Este concepto será necesario en la sección
7.1.2 para definir la función energía E ∇ L .
Empezamos recordando el concepto de levantamiento horizontal de vectores, por
un conexión ∇, véase Saunders [125].