Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.2.1 Elementos geométricos. 335
Sea (q i , yα)1≤i≤n, 1≤α≤m un sistema de coordenadas locales en un abierto (τ ∗ ) −1 (U)
de E ∗ , siendo (q i )1≤i≤n las coordenadas en un abierto U ⊂ Q de la variedad base Q.
Definimos el sistema de coordenadas locales
en (p ∗ ) −1 (U) ⊂ R k × k
⊕ E como sigue:
(t A , q i , y A α )1≤i≤n, 1≤α≤m, 1≤A≤k
t A (t, a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q) = t A (t), q i (t, a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q) = q i (q),
donde (t, a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q) ∈ R k × k
⊕ E ∗ .
y A α (t, a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q) = yα(aA ∗ q) ,
(8.32)
Estas coordenadas dotan a R k × k
⊕ E ∗ de una estructura de variedad diferenciable
de dimensión n + k(1 + m).
B. La prolongación de un algebroide de Lie mediante p ∗ : R k × k
⊕ E ∗ → Q.
En la sección 5.2 del capítulo 5 hemos recordado la definición de T E P , esto es la
prolongación de un algebroide de lie E mediante una fibración π: P → Q.
En la descripción del formalismo hamiltoniano k-cosimpléctico vamos a considerar
el caso particular
P = R k × k
⊕ E ∗
con la fibración
esto es, (véase la Sección 5.2),
y
p ∗ : R k × k
⊕ E ∗ → Q ,
T E (R k × k
⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (R k × k
⊕ E ∗ ) ρp∗
τ1
E
ρ
T (R k × k
⊕ E ∗ )
T p ∗
T Q
T E (R k × k
⊕ E ∗ ) = {(aq, v(t,b ∗ q)) ∈ E ×T(R k × k
⊕ E ∗ )/ ρ(aq) = T p ∗ (v(t,b ∗ q))} . (8.33)