Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.4.1 “Cosserat rods”(Barra Cosserat). 99
sujeto a las ligaduras
v 1 1 + Rv 3 1v 2 2 = 0 y v 2 1 − Rv 3 1v 1 2 = 0 . (3.19)
Siguiendo el modelo descrito en [136, 135], el fibrado de formas de ligadura F
está generado por las siguientes formas:
η1 = (dq 1 + Rv 2 2dq 3 , 0) y η2 = (dq 2 − Rv 1 2dq 3 , 0) .
Reescribiendo las ecuaciones (3.7) para este caso particular se obtiene que las
ecuaciones de campo asociadas a L son
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ρ ∂2φ1 ∂t1∂t1
−
t
∂φ6
∂t2
t
ρ ∂2φ2 ∂t1∂t1
−
t
∂φ7
∂t2
t
α ∂2φ3 ∂t1∂t1
− β
t
∂2φ3 ∂t2∂t2
t
K ∂2φ4 ∂t2∂t2
t
K ∂2φ5 ∂t2∂t2
t
φ 4 (t) − ∂φ1
∂t 2
φ 5 (t) − ∂φ2
∂t 2
= λ
+ φ 6 (t) = 0
+ φ 7 (t) = 0
t
t
= µ
= R λ ∂φ3
∂t1
= 0
= 0 ,
t
− µ ∂φ3
∂t 2
t
(3.20)
donde λ y µ son los multiplicadores de Lagrange asociados con las ligaduras noholonómicas,
t = (t 1 , t 2 ) = (t, s) son las coordenadas tiempo y espacio y el campo
φ : U0 ⊂ R 2 → Q nos da las coordenadas de la línea de centros (φ 1 (t), φ 2 (t)) y el
ángulo de torsión φ 3 (t). Como uno puede observar en la ecuación (3.20) las componentes
φ i , i ≥ 4 son función de las componentes (φ 1 , φ 2 , φ 3 ). Estas ecuaciones se
complementan con las ecuaciones definidas por las ligaduras (3.19).
Consideremos la acción de R 2 × S 1 en Q de acuerdo con la siguiente definición:
para cada (a, b, θ) ∈ R 2 × S 1 consideramos la aplicación
Φ(a,b,θ)(q 1 , . . . , q 7 ) = (q 1 + a, q 2 + b, q 3 + θ, q 4 , . . . , q 7 ).