Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

322 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
Reescribiendo el apartado (2) de la Definición 5.2 de la diferencial exterior de
un algebroide de Lie para el algebroide TE (Rk × k
⊕ E), podemos escribir:
Ω A L (ξ1, ξ2) = −dΘ A L (ξ1, ξ2)
= [ρ p (ξ2)](Θ A L (ξ1)) − [ρ p (ξ1)](Θ A L (ξ2)) + Θ A L ([ξ1, ξ2 ] p ) ,
(8.23)
para todo par ξ1, ξ2 ∈ Sec(TE (Rk × k
⊕ E)) donde (ρp , [·, ·] p ) denota la estructura de
algebroide de Lie de TE (Rk × k
⊕ E) definida en el punto (1) de la Sección 8.2.1.B.
A continuación establecemos las expresiones locales de Θ A L y ΩA L .
Consideremos
{Y B , Xα, V B α } 1≤B≤k, 1≤α≤m
una base local de secciones de τ k
Rk × ⊕E : TE (Rk × k
⊕ E) → Rk × k
⊕ E y
su base dual.
{YB, X α , V α B}1≤B≤k, 1≤α≤m
Entonces de (8.5), (8.15) y (8.22) obtenemos
Θ A L = ∂L
∂yα X
A
α , 1 ≤ A ≤ k . (8.24)
De las expresiones locales (8.5), (8.6), (8.39), (8.23) y (8.24) obtenemos para
cada A = 1, . . . , k,
ΩA
1
L = ρ
2
i ∂
β
2L ∂qi∂y α − ρ
A
i ∂
α
2L ∂qi∂y β + C
A
γ ∂L
αβ ∂y γ
X
A
α ∧ X β
∂
+
2L ∂tB∂y α X
A
α ∧ YB + ∂2L ∂y β
B∂yα X
A
α ∧ V β
B .
(8.25)
Observación 8.15 Si consideramos el caso particular E = T Q y ρ = idT Q, entonces
Ω A L(X, Y ) = ω A L (X, Y ) , 1 ≤ A ≤ k ,
donde X, Y son campos de vectores en Rk × T 1 k Q y ω1 L , . . . , ω k L denotan las 2-formas
lagrangianas del formalismo k-cosimpléctico estándard definidas como sigue: ωA L =
−d(dL ◦ J A ).