Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

328 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
Demostración:
Consideremos
{Y B , Xα, V B α }1≤B≤k, 1≤α≤m
una base local de secciones de τ k
Rk × ⊕E : TE (Rk × k
⊕ E) → Rk × k
⊕ E y
su base dual.
{YB, X α , V α B}1≤B≤k, 1≤α≤m
Entonces cada ξA ∈ Sec(T E (R k × k
⊕ E)) se escribe localmente como sigue:
ξA = (ξA)BY B + ξ α AXα + (ξA) α BV B α
para ciertas funciones (ξA)B, ξ α A , (ξA) α B ∈ C∞ (R k × k
⊕ E).
Teniendo en cuenta esta expresión local, la ecuación
implica que
YB(ξA) = δ B A, 1 ≤ A, B ≤ k
(ξA)B = δ B A , 1 ≤ A, B ≤ k.
Por otra parte, mediante un sencillo cálculo en coordenadas locales y considerando
la expresión local de ΩA L dada en (8.25) obtenemos:
−
k
∂ 2 L
∂ 2 L
ıξA
A=1
ΩAL = ξ α A
∂tB∂y α YB + ξ
A
α A
∂y β
B∂yα V
A
β
B
∂ 2 L
∂t A ∂y α A
+ ξ β
A
∂ 2 L
ρ i β
∂qi∂y α A
− ρ i α
∂ 2 L
∂q i ∂y β
A
+ C γ
αβ
∂L
+ (ξA) β
∂y γ
A
B
∂ 2 L
∂y β
B ∂yα A
y de las expresiones locales (8.7) y (8.26) de d = d TE (R k × k
⊕E) y EL obtenemos:
dEL + ∂L
∂ 2 L
∂ 2 L
∂tA YA = y α A
∂tB∂y α YB + y
A
α A
∂yα A∂yβ B
V β
B + ρi α
y β
A
∂ 2 L
∂q i ∂y β
A
X α ,
− ∂L
∂qi
X α .