Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.3 Relación entre sopde’s y conexiones no lineales. 133
Observación 4.18 En el caso k = 1, el proyector horizontal hξ dado en (4.22),
coincide con el proyector dado por Grifone [53, 55] y por Szilasi [131] .
Observación 4.19 En las secciones anteriores hemos visto que la existencia de un
proyector horizontal h es equivalente a la existencia de :
i) una aplicación horizontal H : T 1 k Q ×Q T Q → T (T 1 k Q),
ii) o una conexión no lineal N en τ k Q : T 1 k Q → Q definida por un
subfibrado horizontal H(T 1 k Q),
iii) o un tensor Γ de tipo (1, 1) en T 1 k Q verificando ciertas condiciones.
Así teniendo en cuenta que cada sopde ξ nos permite definir un proyector horizontal,
podemos describir, como indicaremos a continuación, los distintos elementos
equivalentes: la aplicación horizontal Hξ, la conexión no-lineal Nξ o el tensor Γξ:
(1) El Lema 4.13 nos permite asociar a cada proyector horizontal h una aplicación
horizontal H. En este caso, la aplicación horizontal
Hξ : T 1 k Q ×Q T Q → T (T 1 k Q)
está definida a partir de la siguiente expresión local
Hξ(q i , v i A, v i ) = (q i , v i A, v i ,
1
k + 1 vj
k
A=1
∂(ξA) ı B
∂v j
A
(q k ,v k C )
(2) De (4.23) deducimos que las componentes de la conexión Nξ son
(Nξ) ı Bj(q k , v k C) = − 1
k + 1
k
A=1
∂(ξA) ı B
∂v j
A
(q k ,v k C )
).
⋄
. (4.24)
(3) Como hemos visto en la Proposición 4.15, dar una conexión con proyector
horizontal h es equivalente a dar un tensor Γ de tipo (1, 1) en T 1 k Q mediante
la relación Γ = I − 2h, siendo I el tensor identidad en T 1 k Q.