Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.1.2 La función energía lagrangiana. 277
de X(R k ), de (7.7) sabemos que su expresión local es
YA:
∂
=
∂tA H (t,q)
= ∂
∂tA
(t,q)
+ Γ i A(t, q) ∂
∂qi
(t,q)
, 1 ≤ A ≤ k . (7.8)
Definición 7.9 Los campos de vectores YA se denominan campos de vectores
asociados a la conexión ∇.
Si ∇0 es la conexión trivial en ˆπ Rk : Rk × Q → Rk , entonces puesto que Γi A = 0
los campos de vectores asociados a la conexión ∇0 son
∂
∂tA H (t,q)
= ∂
∂tA
,
(t,q)
1 ≤ A ≤ k . (7.9)
Observación 7.10 Los campos de vectores asociados a una conexión ∇ nos permitirán
introducir, en la subsección siguiente, la función energía lagrangiana asociada
a la conexión ∇.
7.1.2. La función energía lagrangiana.
En esta subsección vamos a introducir la función energía lagrangiana,
E ∇ L : R k × T 1 k Q → R,
asociada a una conexión ∇ en ˆπ R k: R k × Q → R k y a un lagrangiano L. Como
veremos esta función energía E ∇ L coincide con EL cuando ∇ es la conexión estándar.
Con el fin de introducir la función E ∇ L
geométricos.
comenzamos introduciendo algunos objetos
Sean ˆπ R k : R k × Q → R k , J 1 ˆπ R k el fibrado de 1-jets de ˆπ R k y α = αAdt A una
1-forma en R k , entonces, se puede definir la 1-forma vectorial Sα, (véase Saunders,
página 156), que tiene la siguiente expresión local
Sα = αA(dq i − v i B dt B ) ⊗ ∂
∂vi . ≤ k .
A
⋄