Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.2.1 Elementos geométricos. 337
es una base local de secciones de τ k
Rk × ⊕E ∗: TE (Rk × k
⊕ E ∗ ) → Rk × k
⊕ E ∗ .
A partir de ahora denotaremos por Sec(T E (R k × k
⊕ E ∗ )) el conjunto de secciones
de τ R k × k
⊕E ∗.
(4) A cada sección
de τ R k × k
broide
⊕E
ξ: R k × k
⊕ E ∗ → T E (R k × k
⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (R k × k
⊕ E ∗ )
∗ le asociamos un campo de vectores por medio del ancla del alge-
Si ξ se escribe localmente como sigue:
ρ p∗
: T E (R k × k
⊕ E ∗ ) → T (R k × k
⊕ E ∗ ).
ξ = ξAY A + ξ α Xα + ξ A α V α A ∈ Sec(T E (R k × k
⊕ E ∗ ))
entonces, reescribiendo la expresión (5.17) para este caso particular obtenemos,
ρ p∗ ∂
(ξ) = ξA
∂tA + ρiαξ α ∂
∂q i + ξA α
∂
∂y A α
∈ X(R k × k
⊕ E ∗ ) . (8.36)
(5) El corchete de Lie de secciones de τ k queda determinado a partir del
Rk × ⊕E ∗
corchete de los elementos de una base de secciones,
[Y A , Y B ] p∗
[Xα, Xβ ] p∗
= 0 , [Y A , Xα ] p∗
= C γ
αβ Xγ , [Xα, V β
B ]p∗
= 0 , [Y A , V β
B ]p∗
= 0 , [Vα A , Vβ
B ]p∗
= 0 ,
= 0 .
(8.37)
(6) Si {YA, Xα , VA α} es la base dual de {YA , Xα, Vα A }, de las expresiones (5.20) que
caracterizan la diferencial exterior en el algebroide prolongación obtenemos
que
d TE (Rk × k
⊕E ∗ ) ∂f
f =
∂tA YA + ρ i ∂f
α
∂qi Xα + ∂f
∂yA α
para cada f ∈ C ∞ (R k × k
⊕ E ∗ ) y además
d TE (R k × k
⊕E ∗ ) YA = 0 ,
d TE (R k × k
⊕E ∗ ) X γ = − 1
2 Cγ
αβ Xα ∧ X β ,
d TE (R k × k
⊕E ∗ ) V A γ = 0 .
V A α , (8.38)
(8.39)