Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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350 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie. Demostración: Es análoga a la demostración del Teorema 8.30. Observación 8.31 En el caso E = T Q y ρ = idT Q la afirmación de este teorema se corresponde con la relación entre las formas lagrangianas y hamiltonianas del formalismo k-simpléctico estándar, véase el capítulo 6 de esta memoria. Si la transformación de Legendre Leg es un difeomorfismo global diremos que el lagrangiano es hiperregular. En este caso ambos formalismos, el lagrangiano y el hamiltoniano, son equivalentes. Cuando el lagrangiano L es hiperregular, existe un hamiltoniano H definido por H = EL ◦ (Leg) −1 , donde EL es la función energía asociada a L definida en (8.26) y (Leg) −1 es la inversa de la transformación de Legendre. Rk × k ⊕ E R H k × k ⊕ E EL R ∗ Leg−1 Lema 8.32 Si el lagrangiano L es hiperregular, entonces T E Leg es un difeomorfismo. Demostración: Esta demostración es análoga a la demostración del Lema 5.53 ⋄
8.3 Equivalencia entre el formalismo lagrangiano y el hamiltoniano. 351 Mediante un cálculo similar al desarrollado en la demostración del Teorema 5.54 obtenemos el siguiente teorema. Teorema 8.33 Sea L un lagrangiano hiperregular. Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto del aplicaciones η : Rk → Rk × k ⊕ E tal que η es una sección integral de una sección solución ξL del las ecuaciones de Euler-Lagrange (8.28) y el conjunto de aplicaciones ψ : Rk → Rk × k ⊕ E ∗ que son secciones integrales de alguna solución ξH de las ecuaciones hamiltonianas (8.46). Demostración: Es análoga a la demostración del Teorema 5.54 teniendo en cuenta la relación entre ξL = (ξ1 L , . . . , ξk L ) y ξH = (ξ1 H , . . . , ξk H ) dada por: ξ A H ◦ Leg = T E Leg ◦ ξ A L , A = 1, . . . , k .
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