Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.2 El proyector no-holonómico. 89
La descomposición en suma directa de TM(T 1 k Q), definida puntualmente en (3.14),
determina la siguiente descomposición, definida a lo largo de M :
(T 1 k )M(T 1 k Q) = T 1 k M ⊕ S (3.15)
donde S se define como la suma de Whitney, sobre M, de k-copias de S, esto es,
S = S⊕ k . . . ⊕S .
Teniendo en cuenta que una base local de S está formada por la familia de m
campos de vectores independientes {Z1, . . . , Zm} definidos por las ecuaciones (3.4),
entonces el conjunto de k-tuplas
es una base local de S.
{(Zα, 0, . . . , 0), (0, Zα, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, Zα), }1≤α≤m
La descomposición en suma directa de (T 1 k )M(T 1 k Q), dada en (3.15), determina
dos nuevos operadores proyección, P y Q, complementarios entre sí:
definidos por
P : (T 1 k )M(T 1 k Q) → T 1 k M , Q : (T 1 k )M(T 1 k Q) → S ,
P(X1wq , . . . , Xkwq ) = (P (X1wq ), . . . , P (Xkwq )) y Q = I − P ,
en donde I es la identidad en (T 1 k )M(T 1 k Q).
Proposición 3.7 Sea XL = (X1 L , . . . , Xk L ) una solución del problema lagrangiano
libre, i.e., XL es solución de las ecuaciones geométricas de Euler-Lagrange (1.45),
entonces XL, M : = P(XL
) es una solución del problema lagrangiano con ligaduras,
M
esto es, es solución de las ecuaciones geométricas lagrangianas no-holonómicas (3.8).
Demostración:
Por definición del operador P, sabemos que
P(XL
) = P (X
M
1
L
M
y además
P (X A L
), . . . , P (X k L
) ∈ T M.
M
)
M