Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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318 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie. Definición 8.11 Una sección ξ = (ξ1, . . . , ξk) : R k × k ⊕ E → (T E ) 1 k(R k × k ⊕ E) de (T E ) 1 k (Rk × k ⊕ E) se dice una ecuación en derivadas parciales de segundo orden (sopde) si verifica Lema 8.12 Sea S A (ξA) = ∆A y YB(ξA) = δ A B , 1 ≤ A, B ≤ k . {Y A , Xα, V A α}1≤A≤k, 1≤α≤m una base local de Sec(T E (R k × k ⊕ E)). Entonces un sopde ξ = (ξ1, . . . , ξk) se escribe localmente como sigue: ξA = Y A + y α AXα + (ξA) α BV B α , A = 1, . . . , k , (8.17) donde (ξA) B α son funciones definidas en R k × k ⊕ E. Demostración: Una sección ξA se escribe, en la base {Y A , Xα, V A α} como sigue: ξA = (ξA)BY B + ξ α AXα + (ξA) α BV B α , para ciertas funciones (ξA)B , ξ α A , (ξA) B α ∈ C ∞ (R k × k ⊕ E). Por ser ξ un sopde verifica S A (ξA) = ∆A y YB(ξA) = δ A B , 1 ≤ A, B ≤ k . Entonces, a partir de estas relaciones y de las expresiones locales (8.15) y (8.16) de S A y ∆A obtenemos: de donde se sigue que δ A B = YB(ξA) = (ξA) B y y α AV A α = ∆A = S A (ξA) = ξ α AV A α , (ξA) B = δ A B y ξ α A = y α A .
8.1.2 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. 319 En el siguiente lema demostraremos que cada sopde ξ nos permite definir un campo de k-vectores en Rk × k ⊕ E. Lema 8.13 Sea ξ = (ξ1, . . . , ξk): Rk × k ⊕ E → (TE ) 1 k (Rk × k ⊕ E) una sección de (TE ) 1 k (Rk × k ⊕ E). Entonces (ρ p (ξ1), . . . , ρ p (ξk)): R k × k ⊕ E → T 1 k (R k × k ⊕ E) es un campo de k-vectores en R k × k ⊕ E. Recordemos que ρ p : T E (R k × k ⊕ E) ≡ E ×T Q T (R k × k ⊕ E) → T (R k × k ⊕ E) es el ancla del algebroide T E (R k × k ⊕ E). Demostración: Es una consecuencia directa del Lema 5.7 y del hecho de que cada ξA es una sección de TE (Rk × k ⊕ E). En un sistema local de coordenadas se verifica que si entonces ξA = Y A + y α AXα + (ξA) α BV B α ∈ Sec(R k × k ⊕ E) ρ p (ξA) = ∂ ∂tA + ρiαy α ∂ A ∂ ∂qi + (ξA) α B ∂yα B ∈ X(R k × k ⊕ E) . (8.18) Para finalizar esta subsección vamos a introducir el concepto de sección integral de un sopde en el contexto de algebroides de Lie. Definición 8.14 Una aplicación η: U ⊂ R k → R k × k ⊕ E
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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