Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.1.4 Las ecuaciones de campo no-holonómicas 83
Consideremos un sistema local de coordenadas en el que
Z = Z
i ∂
.
∂qi Teniendo en cuenta la expresión local (1.37) del levantamiento completo Z C , se
comprueba sin dificultad que la condición (3.5) es equivalente a
donde η A α i
η A α i Zi = 0 , 1 ≤ α ≤ m , 1 ≤ A ≤ k , (3.6)
son los coeficientes de las formas de ligadura que generan F y que han
sido introducidas en (3.2).
Mediante un cálculo análogo al realizado en la demostración de la Proposición
1.47 se obtiene que, φ(t) = (φi (t)) es una solución del problema con ligaduras si, y
sólo si,
k
∂
∂tA
∂L
−
t
∂L
∂q i
(Z
φ (1) (t)
i ◦ φ)(t)d k t = 0 ,
U0
A=1
∂v i
A
φ (1) (t)
para todo de Z i verificando (3.6).
Por tanto, una aplicación φ : U0 ⊂ Rk → Q es solución del problema con ligaduras
si y sólo si satisface el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales
∂L
∂q i
k
∂
−
φ (1) (t) ∂tA
∂L
= λ
t φ (1) (t)
α A ηA α i (φ(1) (t)) (i = 1, . . . , n) ,
(3.7)
A=1
∂v i A
Φα(φ (1) (t)) = 0 (α = 1, . . . , m) .
en el que la última familia de ecuaciones significa que la primera prolongación φ (1)
de φ toma valores en la subvariedad de ligaduras M.
Como es usual, las “a priori” funciones desconocidas λα A juegan el papel de los
“multiplicadores de Lagrange”. Las ecuaciones (3.7) se llaman las ecuaciones de
campo lagrangianas no-holonómicas para el problema con ligaduras.
Observación 3.3 Si el fibrado F , de las formas de ligadura, se define de acuerdo
con el “principio de Chetaev” , (véase observación 3.1), reobtenemos las ecuaciones
de campo no-holonómicas obtenidas por E. Binz, M. de León, D. Martín de Diego
y D. Socolescu en [9].
Un estudio análogo, en el contexto multisimpléctico, fue realizado por J. Vankershchaver,
F. Cantrijn, M. de León y D. Martín de Diego en [138].