Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.3 La ecuación momento no-holonómica 91
Sea G un grupo de Lie y g su álgebra de Lie. Consideremos una acción
Φ: G × Q → Q
entonces el grupo de Lie G actúa sobre el fibrado tangente de las k 1 -velocidades T 1 k Q
por prolongación de Φ, esto es,
T 1 k Φg(v1q, . . . , vkq) = ((TqΦg)(v1q), . . . , (TqΦg)(vkq)) ,
donde para cada g ∈ G se tiene una aplicación
Definición 3.9
T 1 k Φg: : T 1 k Q → T 1 k Q .
(1) Decimos que el lagrangiano L es invariante bajo la acción del grupo G si L es
invariante bajo la acción inducida de G sobre T 1 k Q, i.e., (T 1 k Φg) ∗ L = L, para
todo g ∈ G.
(2) Decimos que el lagrangiano L es infinitesimalmente invariante si para cualquier
elemento del álgebra de Lie ξ ∈ g se verifica
ξ C Q(L) = 0 ,
donde ξC Q denota el levantamiento completo del campo de vectores fundamental
ξQ definido por
ξQ(q) = d
ds
s=0
Φ(exp(sξ), q) q ∈ Q .
Cuando ξ C Q (L) = 0, entonces ξQ será llamado una simetría infinitesimal
lagrangiana .
Supongamos que G deja invariante L, M y F (esto es, los elementos que determinan
nuestro modelo de teoría de campos no-holonómicos):
para todo g ∈ G.
L ◦ T 1 k Φg = L, T 1 k Φg(M) ⊂ M and (T 1 k Φg) ∗ (F ) ⊂ F