Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.1.1 Conexiones en ˆπ R k : R k × Q → R k . 273
y así H(ˆπ Rk) está localmente generado por
∂
∂tA + Γi ∂
A
∂qi
1≤A≤k
Por último, en este mismo sistema local de coordenadas se tiene
. (7.2)
Ψ(t A , q i ) = (t A , q i , Γ i A(t B , q j )) . (7.3)
Como se puede observar en la expresiones locales anteriores, la relación entre
los distintos elementos que definen una conexión está determinada en coordenadas
locales por las funciones Γ A i . Estas funciones se denominan componentes de la
conexión.
Observación 7.3 Sea φ = (id R k, φQ) : R k → R k × Q un representante de Ψ(t, q),
es decir, Ψ(t, q) = j 1 t φ con φ(t) = (t, q), entonces teniendo en cuenta el isomorfismo
(6.14) obtenemos que
Γ i A(t, q) = ∂(qi ◦ φQ)
∂tA
.
t
A continuación vamos a describir con mayor detalle algunas consecuencias de la
descomposición en suma directa
T (R k × Q) = H(ˆπ R k) ⊕ V (ˆπ R k). (7.4)
Esta descomposición nos permite definir dos proyectores complementarios
h : T (R k × Q) → H(ˆπ R k) y v = id T (R k ×Q) − h : T (R k × Q) → V (ˆπ R k)
por medio de las expresiones:
h(u(t,q)) = ∇(t,q)(u(t,q))
v(u(t,q)) = (id T (R k ×Q) − h)(u(t,q)) = u(t,q) − ∇(t,q)(u(t,q)) ,
donde u(t,q) ∈ T(t,q)(R k × Q).
Esto proyectores h y v se denominan proyector horizontal y vertical respectivamente.
(Emplearemos los mismos símbolos h y v para la extensión natural de estas
aplicaciones a campos de vectores).
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