Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.2.1 La aplicación horizontal H : T 1 k Q ×Q T Q −→ T (T 1 k Q). 123
donde vq ∈ T1 kQ, uq ∈ TQ y las funciones N j
Ai , definidas en T 1 k Q, son las componentes
de la conexión definida por H.
Demostración:
Consideramos sistemas locales de coordenadas (q i , v i ), (q i , v i A , Zi , Z i A ) y (qi , v i A , vi )
de T Q, T (T 1 k Q) y T 1 k Q ×Q T Q, respectivamente. Entonces la expresión local de H
es
H(vq, uq) = H i (vq, uq) ∂
∂qi
vq
− N i A(vq, uq) ∂
para ciertas funciones H i , N i A definidas en T 1 k Q ×Q T Q
Puesto que j ◦ H = id T 1 k Q×QT Q, de (4.7), obtenemos
i ∂
H(vq, uq) = u
∂qi
vq
− N i A(vq, uq) ∂
∂vi
vq A
∂vi
vq A
. (4.10)
Por otra parte, H es un morfismo de fibrados vectoriales, lo que quiere decir que
verifica las siguientes condiciones:
(1) El diagrama
es conmutativo.
T 1 k Q ×Q T Q H
(τ k Q )∗ τQ
(2) Las aplicaciones inducidas
T 1 k Q
id T 1 k Q
T (T 1 k Q)
τ T 1 k Q
1 Tk Q
Hvq : (T 1 k Q ×Q T ∼ Q)vq = {vq} × TqQ → Tvq(T 1 kQ)
son lineales para todo vq ∈ T 1 k Q.
De la segunda condición que acabamos de mencionar y de (4.10), para cada
Q, obtenemos
i ∂
H(vq, uq) = H vq, u
∂qi
= u
q
i
H vq, ∂
∂qi
vq
= ui
∂
∂qi
− N
vq
j ∂
A (vq,
∂qi
)
q
∂
.
vq
vq ∈ T 1 k
∂v j
A