Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.2.2 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. 249
donde la aplicación
τ k
R k × T 1 k τ k Q : T 1 k (Rk × T 1 k Q) → Rk × T 1 k Q
fue definida en (6.27).
(t A , q i , v i A , (vA) B , (vA) i , (vA) i B ) ↦→ (tA , q i , (vA) i )
La expresión local de un sopde X = (X1, . . . , Xk) en un sistema local de coordenadas
(tA , qi , vi A ) de Rk × T 1 k Q es la siguiente:
XA(t B , q i , v i B) = ∂
donde (XA) i B son funciones en Rk × T 1 k Q.
∂
∂tA + vi A
∂q i + (XA) i B
∂v i B
∂
, 1 ≤ A ≤ k , (6.29)
Como consecuencia directa de la expresión local anterior, deducimos que los
campos de vectores {X1, . . . , Xk} son linealmente independientes.
Los sopde’s pueden caracterizarse a partir de los campos de vectores canónicos y
los campos de tensores de tipo (1,1) que hemos definido anteriormente en R k ×T 1 k Q.
Proposición 6.22 Sea X = (X1, . . . , Xk) un campo de k-vectores en R k × T 1 k Q.
Las siguientes condiciones son equivalentes:
(1) X es un sopde.
(2) dt A (XB) = δ A B , SA (XA) = ∆A , 1 ≤ A, B ≤ k.
(3) dt A (XB) = δ A B , ˆ S A (XB) = 0 , 1 ≤ A, B ≤ k.
Demostración:
Por ser X un campo de k-vectores en Rk × T 1 k Q, empleando las coordenadas
canónicas (tA , qi , vi A ), sabemos que cada XA se escribe localmente como sigue:
∂
XA = (XA)B
∂t
i ∂
+ (XA) B ∂qi + (XA) i B
∂vi B
∂
(6.30)
para ciertas funciones (XA)B, (XA) i , (XA) i B , 1 ≤ A, B ≤ k; 1 ≤ i ≤ n definidas en
R k × T 1 k Q.