Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.5 Equivalencia entre el formalismo lagrangiano y el hamiltoniano. 219
Además, si η : Rk → k
⊕ E es una sección integral de ξL = (ξ1 L , . . . , ξk L ), entonces
Leg ◦ η : R k → k
⊕ E ∗
es una sección integral de ξH = (ξ1 H , . . . , ξk H ) siendo
ξ A H = T E Leg ◦ ξ A L ◦ (Leg) −1 .
Vamos a probar ahora esta afirmación, para ello debemos comprobar que
τ ∗
ρ (ξ A
∂
H)(Leg ◦ η(t)) = (Leg ◦ η)∗(t)
∂tA
, 1 ≤ A ≤ k ,
t
τ ∗
donde ρ : Sec(TE ( k
⊕ E ∗ )) → X( k
⊕ E ∗ ) es el ancla del algebroide TE ( k
⊕ E ∗ ).
Se verifica
τ ∗
ρ (ξA ∗
H )(Leg ◦ η(t)) = ρτ (TELeg ◦ ξA L ◦ (Leg)−1 )(Leg ◦ η(t))
= (T (Leg) ◦ ρ τ ◦ ξ A L ◦ (Leg)−1 )(Leg ◦ η(t)) = T (Leg) ◦ ρ τ (ξ A L
∂
= T (Leg) η∗(t)
∂tA
∂
= (Leg ◦ η)∗(t)
t
∂tA
t
en donde estamos utilizando la conmutatividad del siguiente diagrama
T E Leg
TE ( k
⊕ E)
ρ
τ k⊕E
τ
(T
ELeg) −1
T ( k
ξ ⊕ E)
τ k⊕E
Leg
k
⊕ E
A
L
Leg −1
k
E T ( ⊕ E∗ )
ρτ ∗
τ
k⊕E
∗
T Leg
ξ A H
k
⊕ E ∗
T Leg−1 τ k⊕E
∗
) ◦ η(t)
T ( k
⊕ E ∗ )
De un modo similar al que se acaba de comentar se prueba que si ξH = (ξ1 H ,
. . . , ξk H ) es solución de las ecuaciones geométricas de Hamilton (5.70), entonces ξL =
(ξ1 L , . . . , ξk L ) donde
ξ A L = (T E Leg) −1 ◦ ξ A H ◦ Leg