Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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160 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie donde (a1q, . . . , akq) ∈ k ⊕ E. Estas coordenadas dotan a k ⊕ E de una estructura de variedad diferenciable de dimensión n + km. B. La prolongación de un algebroide de Lie mediante la proyección τ: k ⊕ E → Q. A continuación consideramos la prolongación TE ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) de E mediante la fibración τ: k ⊕ E → Q, es decir, (véase la Sección 5.2), T E ( k ⊕ E) = {(aq, vbq) ∈ E × T ( k ⊕ E)/ ρ(aq) = T τ(vbq)} . (5.22) Teniendo en cuenta los contenidos de la Sección 5.2, y considerando el caso particular P = E⊕ k . . . ⊕E obtenemos: (1) T E ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) es un algebroide de Lie sobre k ⊕ E con proyección τ k ⊕E : TE ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) −→ k ⊕ E y estructura de algebroide de Lie ([·, ·] τ , ρ τ ) donde el ancla ρ τ : E ×T Q T ( k ⊕ E) ≡ T E ( k ⊕ E) → T ( k ⊕ E) es la proyección sobre el segundo factor. (2) Si (qi , yα k A ) denota un sistema local de coordenadas de ⊕ E entonces el sistema de coordenadas locales inducido en TE ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) es donde, véase (5.15), (q i , y α A, z α , w α A)1≤i≤n, 1≤A≤k, 1≤α≤m q i (aq, vbq) = q i (q) , y α A (aq, vbq) = y α A (bq) , zα (aq, vbq) = yα (aq) , wα A (aq, vbq) = vbq(yα A ) . (5.23)
5.3.1 Elementos geométricos. 161 (3) De (5.16) obtenemos que el conjunto {Xα, V A α} definido por Xα: V A α : k ⊕ E → TE ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) bq ↦→ Xα(bq) = (eα(q); ρi α(q) ∂ ∂qi k ⊕ E → TE ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k bq ↦→ V A α(bq) = (0q; ∂ ∂yα bq A es una base local de secciones de τ k ⊕E : TE ( k ⊕ E) → k ⊕ E. ⊕ E) ) , bq ) (5.24) A partir de ahora denotaremos por Sec(TE ( k ⊕ E)) el conjunto de secciones de τ k ⊕E : TE ( k ⊕ E) → k ⊕ E. (4) A cada sección ξ: k ⊕ E → TE ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) de τ k le asociamos un ⊕E campo de vectores por medio del ancla del algebroide ρτ : TE ( k ⊕ E) → T ( k ⊕ E). Si ξ se escribe localmente como sigue: ξ = ξ α Xα + ξ α AV A α ∈ Sec(T E ( k ⊕ E)) entonces, reescribiendo la expresión (5.17) para este caso particular obtenemos, ρ τ (ξ) = ρ i α ∂ αξ ∂ ∂qi + ξα A ∂yα A ∈ X( k ⊕ E) . (5.25) (5) El corchete de Lie de secciones de τ k queda determinado a partir del corchete ⊕E de los elementos de una base de secciones, véase (5.19), [Xα, Xβ ] τ = C γ αβ Xγ [Xα, V B β ]τ = 0 [V A α, V B β ]τ = 0 , (5.26) (6) Si {X α , V α A } es la base dual de {Xα, V A α}, de las expresiones (5.20) que caracterizan la diferencial exterior en el algebroide prolongación obtenemos que dTE ( k ⊕E) i ∂f f = ρα ∂qi Xα + ∂f ∂y α A V α A , para f ∈ C ∞ ( k ⊕ E) dTE ( k ⊕E) γ 1 X = − 2 Cγ αβXα ∧ X β , d TE ( k ⊕E) γ VA = 0 . (5.27)
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A mi familia
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+ ∂H ∂p B j = 0 ∂H ∂qj
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Por otra parte, puesto que Φ es un
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A continuación multiplicamos la ex
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En efecto, consideramos la siguient
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= { + − + ∂2L ∂qj ∂vi
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Apéndice B Espacios vectoriales k-
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(2) ω A (u, v) = 0 (A = 1, . . . ,
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Apéndice C Índice de símbolos En
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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ˆπQ : R k × Q → Q (ˆπQ)1,0 :
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Bibliografía [1] R. Abraham-J. E.
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Bibliografía 381 [25] J. Cortés,
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 387 [100] E. Martíne
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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