Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

52 2 Simetrías y Leyes de conservación
Teorema 2.13 (Teorema de Noether): Sea Y ∈ X((T 1 k )∗ Q) una simetría de Cartan
infinitesimal de un sistema hamiltoniano k-simpléctico ((T 1 k )∗ Q, ω A , H). Entonces,
para cada p ∈ (T 1 k )∗ Q, existe un entorno abierto Up, del punto p, tal que las funciones
F A = ıY θ A − ζ A , 1 ≤ A ≤ k
(que hemos obtenido en la proposición anterior), definen una ley de conservación
F = (F 1 , . . . , F k ).
Demostración:
Sea Y ∈ X((T 1 k )∗ Q) con expresión local Y = Y
se obtiene
Y i δ A B =
∂f A
∂p B i
, −Y A
i =
i ∂
∂q
∂
A
+Y i i
∂pA i
∂f A
∂q i ; (en Up)
, entonces de (2.10)
Sea ψ: U0 ⊆ R k → (T 1 k )∗ Q una solución de las ecuaciones de Hamilton-De
Donder-Weyl (1.13), entonces a partir de las identidades anteriores se sigue
k
A=1
∂(F A ◦ ψ)
∂t A
t
=
=
A ∂F
∂qi
−Y A
i
= −
Y A
i
ψ(t)
∂ψi ∂tA
t
∂ψi ∂tA
+ Y
t
i
∂H
∂p A i
+ Y
= −LY H = 0 .
+ ∂FA
∂p B i
k
A=1
i ∂H
∂q i
ψ(t)
∂ψ A i
∂t A
∂ψ B i
∂t A
Observación 2.14 En el caso k = 1, el anterior teorema (Teorema de Noether en
la Mecánica hamiltoniana Autónoma ) puede encontrase en [93].
t
t
⋄