Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

54 2 Simetrías y Leyes de conservación
es cero, para cada φ : U0 ⊂ R k → Q solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange
(1.44), esto es,
k
A=1
∂(F A ◦ φ (1) )
∂t A = 0 . (2.12)
Así, si F = (F1 , . . . , Fk ): T 1 k Q → Rk es una ley de conservación entonces, para
cada campo de k-vectores integrable XL = (X1 L , . . . , Xk L ) solución de la ecuación
geométrica de Euler-Lagrange (1.45), se verifica
k
A=1
puesto que XA L (φ(1) (t)) = (φ (1)
∂
)∗(t)
L X A L F A = 0 , (2.13)
∂tA
t
, 1 ≤ A ≤ k .
Observación 2.18 Al igual que en el caso hamiltoniano, véase la observación 2.3,
una primera diferencia entre nuestro contexto y la Mecánica lagrangiana Autónoma
es que en nuestro contexto las ecuaciones (2.12) y (2.13) no son equivalentes.
Definición 2.19
(1) Una simetría del sistema lagrangiano k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L , EL) es
un difeomorfismo
Φ: T 1 k Q → T 1 k Q
tal que, para cada solución φ : U0 ⊆ R k → Q de las ecuaciones de Euler-
Lagrange (1.44), se verifica que Φ ◦ φ (1) = ϕ (1) , donde ϕ: U0 ⊆ R k → Q es
también una solución de estas ecuaciones.
(2) Una simetría infinitesimal del sistema lagrangiano k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L ,
EL) es un campo de vectores Y ∈ X(T 1 k Q) cuyos flujos locales son simetrías
del sistema lagrangiano k-simpléctico.
De modo análogo al caso hamiltoniano, se verifica:
⋄