Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

200 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
es decir, vamos a considerar el espacio
T E ( k
⊕ E ∗ ) = {(aq, vb ∗ k
) ∈ E × T ( ⊕ E q ∗ )/ ρ(aq) = T (τ ∗ )(vb ∗)} . (5.58)
q
Teniendo en cuenta los contenidos de la Sección 5.2, y considerando el caso
particular P = E∗⊕ k . . . ⊕E∗ obtenemos:
(1) TE ( k
⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E ∗ ) es un algebroide de Lie sobre k
⊕ E ∗ con proyección
τ k
⊕E ∗: TE ( k
⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E ∗ ) → k
⊕ E ∗
τ ∗ τ ∗
y estructura de algebroide de Lie ([·, ·] , ρ ) donde la aplicación ancla
τ ∗
ρ : T E ( k
⊕ E ∗ ) = E ×T Q T ( k
⊕ E ∗ ) → T ( k
⊕ E ∗ )
es la proyección sobre el segundo factor.
(2) Si (qi , yA α ) denota un sistema local de coordenadas de k
⊕ E ∗ entonces el sistema
de coordenadas locales inducido en TE ( k
⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E ∗ ) es
donde, véase (5.15),
(q i , y A α , z α , w A α )1≤i≤n, 1≤ℓ≤n ′ , 1≤α≤m
q i (aq, vb ∗ q ) = qi (q) , y A α (aq, vb ∗ q ) = yA α (b ∗ q) ,
z α (aq, vb ∗ q ) = yα (aq) , w A α (aq, vb ∗ q ) = vb ∗ q (yA α ) .
(3) De (5.16) obtenemos que el conjunto {Xα, Vα A } definido por
Xα:
V α A :
k
⊕ E ∗ → TE ( k
⊕ E ∗ )
b ∗ q ↦→ Xα(b ∗ q) = (eα(q); ρi α(q) ∂
∂qi
k
⊕ E ∗ → TE ( k
⊕ E ∗ )
b ∗ q ↦→ Vα A (b ∗ q) = (0q; ∂
∂yA α
) ,
b ∗
q
es una base local de secciones de τ k
⊕E ∗: TE ( k
⊕ E ∗ ) → k
⊕ E ∗ .
b ∗ q
)
(5.59)
(5.60)