Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

34 1 Formulación k-simpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
donde 1 ≤ i ≤ n y φ (1) (t) = (φi (t), ∂φi
∂tA
), es la primera prolongación del campo φ.
t
Estas ecuaciones se escriben habitualmente como sigue:
k ∂
∂tA
∂L
t
A=1
∂vi
A φ (1) (t)
= ∂L
∂qi
φ (1) (t)
, v i A(φ (1) (t)) = ∂φi
∂tA
. (1.42)
t
Observación 1.44 Observese que teniendo en cuenta la expresión local (1.10) de
la primera prolongación φ (1) de φ, el segundo grupo de ecuaciones de (1.42) se
transforma en un conjunto de identidades.
B. Principio variacional.
En este apartado veremos como obtener las ecuaciones de campo de Euler-
Lagrange a partir de un principio variacional.
Definición 1.45 Denotemos por C ∞ C (Rk , Q) el conjunto de aplicaciones
φ : U0 ⊂ R k → Q,
con soporte compacto, definidas en un conjunto abierto U0. Sea L : T 1 k Q → R un
lagrangiano, se define la acción asociada a L por
J : C∞ C (Rk , Q) → R
φ ↦→ J(φ) =
R k
(L ◦ φ (1) )(t)d k t ,
en donde d k t = dt 1 ∧. . .∧dt k es una forma de volumen en R k y φ (1) : U0 ⊂ R k → T 1 k Q
denota la primera prolongación de φ.
Definición 1.46 Una aplicación φ : U0 ⊆ Rk → Q, perteneciente al conjunto C∞ C (Rk , Q),
es un extremal de J si
d
J(τs ◦ φ) = 0
ds s=0
para cada flujo τs en Q tal que τs(q) = q para todo q de la frontera de φ(U0) ⊂ Q.
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