Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.1.3 Formalismo hamiltoniano. Ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl. 15
donde cada solución es una aplicación
ψ(t 1 , . . . , t k ) = (ψ i (t 1 , . . . , t k ), ψ A i (t 1 , . . . , t k )) , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ A ≤ k
y H es una función de las variables q i , p A i donde q i representa a la variable ψ i y p A i
a ψ A i . En las ecuaciones de la electrostática se tiene i = 1 y k = 3.
B. Principio variacional
En el desarrollo de la Mecánica hamiltoniana autónoma las ecuaciones de Hamilton
se obtienen a partir de un principio variacional. El desarrollo formal de la
formulación hamiltoniana de la Mecánica Clásica puede generalizarse a la teoría de
campos clásica. En este caso el problema se transforma en encontrar los extremales
de un problema variacional asociado a integrales múltiples de densidades hamiltonianas.
En este apartado vamos a describir el principio variacional del que se obtienen
formalmente las ecuaciones de campo de Hamilton-De Donder-Weyl.
Por simplicidad desarrollaremos este apartado en el fibrado de k 1 -covelocidades
((T 1 k )∗ Q, ω 1 , . . . , ω k , V ), esto es, en el modelo canónico de las variedades k-simplécticas,
sin embargo, teniendo en cuenta el teorema de Darboux 1.5 se podría hacer una
descripción análoga en una variedad k-simpléctica arbitraria.
Definición 1.19 Denotemos por C ∞ C (Rk , (T 1 k )∗ Q) el conjunto de aplicaciones
ψ : U0 ⊆ R k → (T 1 k ) ∗ Q,
con soporte compacto, definidas en un conjunto abierto U0. Sea H : (T 1 k )∗ Q → R un
hamiltoniano, se define la acción integral asociada a H por
H : C∞ C (Rk , (T 1 k )∗Q) → R
ψ ↦→ H(ψ) =
R k
k
A=1
(ψ ∗ θ A ) ∧ d k−1 t A − (ψ ∗ H)d k t
en donde d k t = dt 1 ∧ . . . ∧ dt k es una forma de volumen en R k y d k−1 t A = ı ∂
∂t A dk t
es una (k − 1)-forma en R k .
,