Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.3.1 Estructura k-cosimpléctica. 291
Observemos que, a pesar de que V (ˆπ R k) es un subfibrado de T (R k × Q), V (ˆπ R k) ∗
no es un subfibrado de T ∗ (R k × Q), a menos que consideremos una conexión en el
fibrado ˆπ R k : R k × Q → R k .
En efecto, sea ∇ tal conexión. ∇ induce la descomposición
T (R k × Q) = H(ˆπ R k) ⊕ V (ˆπ R k),
por lo que tenemos la proyección vertical inducida
y la inclusión
v = id − ∇: T (R k × Q) −→ V (ˆπ R k)
t v: V (ˆπR k) ∗ −→ T ∗ (R k × Q).
En coordenadas locales naturales, si
∇ = dt A
∂
⊗
entonces
y
∂
v
∂tA
= −Γ i A
∂
∂t A + Γi A
, v
∂qi t v(ζ i ) = dq i − Γ i Bdt B .
∂
∂qi
∂
∂qi
= ∂
∂qi Así, la conexión ∇ actúa en la sección V obteniendo
haciendo de S∇ una sección de
S∇ = ∂
∂t A ⊗ (dqi − Γ i Bdt B ) ⊗ ∂
∂v i A
((ˆπ R k)1,0) ∗ π ∗
R kT R k ⊗ T ∗ (R k × Q) ⊗ V ((ˆπ R k)1,0) → R k × T 1 k Q .
Ahora definimos los tensores SA ∇ , A = 1, . . . , k como sigue:
S A ∇ := S∇(dt A ) = (dq i − Γ i Bdt B ) ⊗ ∂
∂vi . (7.36)
A