Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.2.3 Formalismo lagrangiano: ecuaciones de Euler - Lagrange. 253
En general, consideremos un campo definido por una función φ : R k → Q, cuya
expresión local es
φ(t 1 , . . . , t k ) = (φ 1 (t 1 , . . . , t k ), . . . , φ n (t 1 , . . . , t k )).
Una función lagrangiana L es una función R-valuada
∂tA
)
L(t A , φ i (t), ∂φi
t
que depende de las variables espaciales tA , de las variables-componentes del campo
qi = φi y de las primeras derivadas parciales del campo ∂φi /∂tA (t). Por lo tanto
podríamos considerar que L está definida en Rk × T 1 k Q y así L : Rk × T 1 k Q → R.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange para una función lagrangiana L con solución
(φ i (t 1 , . . . , t k )) son el sistema de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden
dado por
k
∂2L ∂tA∂v i A |φ [1] (t) + ∂2L ∂qj ∂vi A |φ [1] ∂φ
(t)
j
∂tA |t + ∂2L ∂v j
B∂vi A |φ [1] ∂
(t)
2φj ∂tA∂tB
=
|t
∂L
∂qi
,
φ [1] (t)
A=1
donde 1 ≤ i ≤ n y φ [1] (t) = (t, φi (t), ∂φi
∂tA ), que suelen escribirse como sigue
|t
k ∂
∂tA
∂L
t
A=1
∂vi
A φ [1] (t)
= ∂L
∂qi
φ [1] (t)
donde cada solución φ [1] : U0 ⊂ Rk → Rk × T 1 k Q está dada por
φ [1] (t) = (t, φ i (t), ∂φi
t
, v i A(φ [1] (t)) = ∂φi
∂tA
, (6.34)
t
∂tA
).
Observación 6.25 Observese que teniendo en cuenta la expresión local (6.31) de
la primera prolongación φ [1] de φ, el segundo grupo de ecuaciones de (6.34) se transforma
en un conjunto de identidades.
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