Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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Además en este capítulo se analiza el caso particular de una subvaridad de
ligaduras M que se obtiene como la suma de k copias de una distribución sobre
el espacio de configuración. En este caso particular se ha construido una
distribución D en T 1 k Q a lo largo de M que, en cada punto, es un subespa-
cio k-simpléctico del espacio vectorial k-simpléctico (T (T 1 k Q), ω1 L , . . . , ωk L
asociado a un lagrangiano regular L. Este hecho permite extender al contexto
k-simpléctico el procedimiento de Bates y Sniatycki [8] para el caso lineal.
Se ha asociado a cada conexión no lineal en el fibrado T 1 k Q un sopde y recíprocamente
a cada sopde se le asocia una conexión no lineal en el fibrado antes
mencionado.
En el contexto k-cosimpléctico también se han estudiado conexiones no lineales,
en este caso en el fibrado trivial Rk × Q → Rk y se ha demostrado que
asociada a cada conexión ∇ en dicho fibrado y a cada función lagrangiana L
se define una función E ∇ L
, V )
, llamada función energía que permite demostrar que
existe una correspondencia biyectiva entre las soluciones de las ecuaciones de
campo de Euler-Lagrange y las ecuaciones de campo de Hamilton-De Donder-
Weyl.
Se ha desarrollado una formulación k-simpléctica y k-cosimpléctica en algebroides
de Lie. La idea de esta formulación ha sido sustituir el fibrado tangente
de la variedad de configuración por un algebroide de Lie arbitrario. De este
modo obtenemos una nueva teoría que generaliza por una parte la formulación
k-simpléctica y k-cosimpléctica estándar y por otra la Mecánica en algebroides
de Lie.
En relación con el último punto comentado pretendo desenvolver la formulación
k-simpléctica y k-cosimpléctica de la teoría de campos discretos sobre
grupoides de Lie. Para eso, los pasos a seguir serían los siguientes. En primer
lugar desarrollar la formulación k-simpléctica y k-cosimpléctica discretas, estudiando
sus propiedades y elementos geométricos. En segundo lugar extender
estes resultados al estudio de campos discretos sobre grupoides de Lie.