Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

338 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
A lo largo de esta sección denotaremos la diferencial exterior d TE (R k × k
⊕E ∗ ) simplemente
por d.
Observación 8.22 En el caso particular E = T Q la variedad T E (R k × k
⊕ E ∗ ) se
identifica con T (R k × (T 1 k )∗ Q).
En efecto, en este caso consideramos la prolongación de T Q sobre
Así de (8.2) se tiene
(πQ)1 : R k × (T 1 k ) ∗ Q → Q.
T T Q (R k × k
⊕ T ∗ Q) = T T Q (R k × (T 1 k )∗ Q)
= {(uq, v(t,w ∗ q)) ∈ T Q × T (R k × (T 1 k )∗ Q)/uq = T (πQ)1(vw ∗ q )}
= {(T (πQ)1(v(t,w ∗ q )), v(t,w ∗ q )) ∈ T Q × T (R k × (T 1 k )∗ Q)/ (t, w ∗ q) ∈ R k × (T 1 k )∗ Q}
≡ {v(t,w ∗ q ) ∈ T (R k × (T 1 k )∗ Q)/ (t, w ∗ q) ∈ R k × (T 1 k )∗ Q} ≡ T (R k × (T 1 k )∗ Q) .
C. El fibrado vectorial T E (R k × k
⊕ E ∗ )⊕ k
. . . ⊕T E (R k × k
⊕ E ∗ ).
En la descripción de la formulación hamiltoniana k-cosimpléctica en algebroides
de Lie tienen especial interés los campos de k-vectores en R k × (T 1 k )∗ Q, esto es, las
secciones de
τ k
R k ×(T 1 k )∗ Q : T 1 k (R k × (T 1 k ) ∗ Q) → R k × (T 1 k ) ∗ Q .
De modo análogo a lo que ocurría en el formalismo k-simpléctico en algebroides
de Lie el fibrado
T E (R k × k
⊕ E ∗ )⊕ k . . . ⊕T E (R k × k
⊕ E ∗ )
jugará el papel de
T 1 k (R k × (T 1 k ) ∗ Q) = T (R k × (T 1 k ) ∗ Q)⊕ k . . . ⊕T (R k × (T 1 k ) ∗ Q) .
Denotaremos por (TE ) 1 k (Rk × k
⊕ E ∗ ) la suma de Whitney sobre Rk × k
⊕ E ∗ de k
copias del algebroide de Lie TE (Rk × k
⊕ E ∗ ), esto es,
(T E ) 1 k(R k × k
⊕ E ∗ ): = T E (R k × k
⊕ E ∗ )⊕ k
. . . ⊕T E (R k × k
⊕ E ∗ ) ,
⋄