Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

344 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
(ξA)B, ξ α A , (ξA) B α ∈ C ∞ (R k × k
⊕ E ∗ ) satisfacen las siguientes ecuaciones:
o equivalentemente
(ξA)B = δAB ,
ξ α A
= ∂H
∂y A α
k
(ξA) A α = yA γ C γ
A=1
(ξA)B = δAB , ξ α A = ∂H
∂y A α
Sea
,
,
βαξβ A − ρiα k
(ξA) A
α = −
A=1
ψ : R k → R k × k
⊕ E ∗
ρ i α
∂H
.
∂qi ∂H
+
∂qi t ↦→ ψ(t) = (t, ψ i (t), ψ A α (t))
k
A=1
,
C γ
αβ yA γ
∂H
∂y A β
(8.49)
. (8.50)
una sección integral de la sección ξ, esto es, ψ es una sección integral del campo de
k-vectores en Rk × k
⊕ E∗ asociado a ξ y definido por, (véase la proposición 8.23),
donde
p ∗
p ∗
(ρ (ξ1), . . . , ρ (ξk)),
p ∗
ρ : T E (R k × k
⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (R k × k
⊕ E ∗ ) → T (R k × k
⊕ E ∗ )
denota el ancla del algebroide T E (R k × k
⊕ E ∗ ).
Entonces, por ser ψ sección integral se verifica:
ρ i α(ξ α A ◦ ψ) = ∂ψi
∂tA , (ξA) B β ◦ ψ = ∂ψB β
. (8.51)
∂tA De (8.50) y (8.51) obtenemos que ψ es solución de las ecuaciones
k
A=1
∂ψ i
∂t A
∂ψ A
β
∂t A
t
t
∂H
= ρi α
∂yB α
ψ(t)
= − ρi ∂H
β
∂qi
ψ(t)
+
k
A=1
C γ
αβψA γ (t) ∂H
∂yA
.
α ψ(t)
(8.52)