Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.2 La prolongación de un algebroide de Lie mediante una fibración. 157
Puesto que cualquier sección de T E P se puede expresar localmente como una
combinación lineal de las secciones proyectables {Xα, Vℓ}, la definición del corchete
de Lie se puede extender a secciones arbitrarias de T E P .
El corchete de Lie de los elementos de la base local {Xα, Vℓ} se muestra a continuación:
donde 1 ≤ α ≤ m y 1 ≤ ℓ ≤ n ′ .
[Xα, Xβ ] π = C γ
αβ Xγ [Xα, Vℓ ] π = 0 [Vℓ, Vϕ ] π = 0 , (5.19)
E. Estructura de algebroide de Lie de T E P .
El fibrado vectorial τP : T E P ≡ E ×T Q T P → P está dotado de una estructura
de algebroide de Lie dada por:
(1) La aplicación ancla es ρ π : T E P → T P, ρ π (b, vp) = vp.
(2) El corchete de Lie [·, ·] π : Sec(T E P ) × Sec(T E P ) → Sec(T E P ) es la aplicación
que se ha introducido en el apartado D de esta sección.
La demostración de que (T E P, [·, ·] π , ρ π ) es un algebroide de Lie puede encontrarse
en P.J. Higgins, K. Mackenzie [57], donde este espacio se denomina el algebroide
de Lie imagen inversa de E sobre π.
Por ser (T E P, [·, ·] π , ρ π ) un algebroide de Lie está definida la diferencial exterior,
(véase la sección 5.1.3 para la definición de la diferencial exterior en un algebroide
de Lie arbitrario). Esta diferencial
d TE P : Sec(
está determinada por las relaciones
l l+1 (T
E ∗ E ∗
(T P ) ) → Sec( P ) )
dTEP i i q = ραXα , dTEP ℓ ℓ u = V
dTEP γ 1
X = −
2 Cγ
αβXα ∧ X β , dTEP ℓ V = 0
donde {X α , V ℓ } es la base dual de {Xα, Vℓ}.
(5.20)