Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.4 Ejemplos. 197
Se puede demostrar que T ¯ Q/G tiene una estructura de algebroide de Lie sobre
Q = ¯ Q/G (véase M. de León, J. C. Marrero y E. Martínez [72]). Este algebroide
τQ|G: E = T ¯ Q/G → Q = ¯ Q/G se denomina algebroide de Atiyah.
Denotamos como antes por (q i , y i , y a ) las coordenadas locales inducidas de T ¯ Q/G.
Si cc ab son las constantes de estructura del álgebra de Lie g con respecto a la base
{ξa} y
∂
B
∂qi
,
(q,e)
∂
∂qj
= B
(q,e)
a ijξa
donde
B c ij = ∂Aci ∂qj − ∂Acj ∂qi − ccabA a i A b j .
entonces las funciones de estructura del algebroide de Lie T ¯ Q/G → Q están determinadas
por las siguientes relaciones (véase [72]):
[ei, ej ] T ¯ Q/G = −B c ijec
[ei, ea ] T ¯ Q/G = c c abA b iec
[ea, eb ] T ¯ Q/G = c c abec
ρ T ¯ Q/G(ei) = ∂
∂q i
ρ T ¯ Q/G(ea) = 0 .
Así las funciones de estructura del algebroide de Atiyah τQ|G: E = T ¯ Q/G →
Q = ¯ Q/G respecto al sistema local de coordenadas (q i ) y la base local {ei, ea} de
Sec(T ¯ Q/G) son:
C k ij = C k ia = −C k ai = C k ab = 0, Ca ij = −B a ij, C c ia = −C c ai = c c ab Ab i
C c ab = cc ab , ρi j = δij, ρ a i = ρ i a = ρ b a = 0 .
(5.56)
Ahora, consideremos una función lagrangiana L : k
⊕ T ¯ Q/G −→ R entonces las
ecuaciones de campo de Euler-Lagrange son:
d
dtA
∂L
∂yi
A
d
dtA
∂L
∂y a A
= ∂L
∂qi + Bc ijy j
C
= c c abA b iy i C
∂L
∂y c C
0 = ∂yi A
∂tB − ∂yi B
∂tA ∂L
∂y c C
− c c aby b C
− c c abA b iy a C
∂L
∂y c C
∂L
∂y c C
0 = ∂yc A
∂t B − ∂yc B
∂t A − Bc ijy i By j
A + cc abA b iy i By a A + c c aby b Ay a B