Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

298 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
Demostración:
(1) Dado que (F L) ∗ θ A = θ A L obtenemos
(F L) ∗ Θ = (F L) ∗ (θ − Hd k t) = (F L) ∗ (
=
k
A=1
Por otra parte, de (7.13) se sigue,
ΘL =
=
=
=
k
θ A ∧ d k−1 t A − Hd k t)
A=1
(F L) ∗ θ A ∧ d k−1 t A − (F L) ∗ Hd k t =
k
Θ A L ∧ d k−1 t A =
A=1
k
θ A L ∧ d k−1 t A +
A=1
k
A=1
k
θ A L ∧ d k−1 t A − ELd k t .
A=1
θ A L + ( 1
k δA BL − v i B
∂L
) dt B
∧ d k−1 t A
∂v i A
k
( 1
k δA BL − v i ∂L
B ) dt B ) ∧ d k−1 t A
A=1
∂v i A
k
θ A L ∧ d k−1 t A + Ld k t − v i ∂L
A d k t
A=1
k
θ A L ∧ d k−1 t A − ELd k t
A=1
Por lo tanto ΘL = (F L) ∗ Θ .
(2) La primera igualdad es consecuencia de θA − θA ∇ = ηA ∇ , A = 1, . . . , k.
∂v i A
Para la segunda igualdad, consideramos la expresión local (7.23) de η A ∇
niendo en cuenta que por (7.26) se verifica
obtenemos
η∇ =
A=1
H ∇ = H −
k
A=1
η A ∇( ∂
)
∂tA A=1
y te-
k
η A ∇ ∧ d k−1 t A = p A i Γ i Bdt B ∧ d k−1 t A k
= [ η A ∇( ∂
∂tA )]dkt = (H − H ∇ )d k t