Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

110 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
esto es,
Ψα(q i , p A i ) = Φα(q i , ∂H
∂p A i
) , 1 ≤ α ≤ m ,
donde la función hamiltoniana H : (T 1 k )∗ Q → R se define como H = EL ◦ F L −1 .
Teniendo en cuenta la expresión local F L−1 (qi , pA i ) = (qi , ∂H
∂pA ) de la inversa de
i
la transformación de Legendre y la definición del hamiltoniano H = EL ◦ F L−1 tenemos
H = v i A ◦ F L −1 p A i − L ◦ F L −1 .
Así, de (3.7) y la expresión anterior, se obtiene
∂H
∂p A i
donde H ki
BC
= v i A ◦ F L −1
∂H ∂L
= −
∂qi ∂qi ◦ F L−1 = −λ α ∂Ψα
C
∂pB H
k
ki
BC −
k
A=1
son las componentes de la inversa de la matriz
(H BC
ik ) = (∂ 2 H/∂p B i ∂p C k ).
∂
∂tA
∂L
∂vi ◦ F L
A
−1
,
Nótese que para obtener la expresión anterior hacemos uso de la identidad
∂Ψα
∂pB H
k
ki
BC = ∂Φα
∂vi ◦ F L
C
−1 .
Así, las ecuaciones de Hamilton no-holonómicas en (T 1 k )∗ Q pueden ser escrita
como sigue
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂H
∂p A i
∂H
∂q i
ψ(t)
ψ(t)
= ∂ψi
∂tA
,
t
= −λ α C
∂Ψα
∂p B k
ψ(t)
0 = Ψα(ψ i (t), ψ A i (t))
H ki
BC(ψ(t)) −
k
A=1
∂ψ A i
∂t A
donde ψ : U ⊂ R k → (T 1 k )∗ Q está localmente dado por ψ(t) = (ψ i (t), ψ A i (t)).
t