Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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336 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie. Teniendo en cuenta los contenidos de la Sección 5.2, y considerando el caso particular P = Rk × k ⊕ E ∗ obtenemos: (1) TE (Rk × k ⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (Rk × k ⊕ E ∗ ) es un algebroide de Lie con variedad base Rk × k ⊕ E ∗ , proyección τ k Rk × ⊕E ∗: TE (R k × k ⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (R k × k ⊕ E ∗ ) −→ R k × k ⊕ E ∗ y estructura de algebroide de Lie ([·, ·] p∗ , ρp∗ ) donde el ancla ρ p∗ : T E (R k × k ⊕ E ∗ ) = E ×T Q T (R k × k ⊕ E ∗ ) → T (R k × k ⊕ E ∗ ) es la proyección sobre el segundo factor. (2) Si (t A , q i , y A α ) denota un sistema local de coordenadas de R k × k ⊕ E ∗ entonces el sistema de coordenadas locales inducido en T E (R k × k ⊕ E ∗ ) está dado como sigue: (t A , q i , y A α , z α , vA, w A α )1≤i≤n, 1≤ℓ≤n ′ , 1≤α≤m donde, véase (5.15), t A (aq, v(t,b ∗ q )) = t A (t) , z α (aq, v(t,b ∗ q )) = y α (aq) , q i (aq, v(t,b ∗ q)) = q i (q) , vA(aq, v(t,b ∗ q)) = v(t,b ∗ q)(t A ) , y A α (aq, v(t,b ∗ q)) = y A α (t, bq) , w A α (aq, v(t,b ∗ q)) = v(t,b ∗ q)(y A α ) . (3) De (5.16) obtenemos que el conjunto {YA , Xα, Vα A } definido por YA : Rk × k ⊕ E ∗ → TE (Rk × k ⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (Rk × k ⊕ E ∗ ) (t, b∗ q) ↦→ YA (t, b∗ q) = (0q; ∂ ∂tA ) , (t,b∗ q ) Xα: Rk × k ⊕ E ∗ → TE (Rk × k ⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (Rk × k ⊕ E ∗ ) (t, b∗ q) ↦→ Xα(t, b∗ q) = (eα(q); ρi α(q) ∂ ∂qi ) (t,b∗ q ) V α A : Rk × k ⊕ E ∗ → T E (R k × k ⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (R k × k (t, b ∗ q) ↦→ V α A (t, b∗ q) = (0q; ∂ ∂y A α ) , (t,b∗ q) ⊕ E ∗ ) (8.34) (8.35)
8.2.1 Elementos geométricos. 337 es una base local de secciones de τ k Rk × ⊕E ∗: TE (Rk × k ⊕ E ∗ ) → Rk × k ⊕ E ∗ . A partir de ahora denotaremos por Sec(T E (R k × k ⊕ E ∗ )) el conjunto de secciones de τ R k × k ⊕E ∗. (4) A cada sección de τ R k × k broide ⊕E ξ: R k × k ⊕ E ∗ → T E (R k × k ⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (R k × k ⊕ E ∗ ) ∗ le asociamos un campo de vectores por medio del ancla del alge- Si ξ se escribe localmente como sigue: ρ p∗ : T E (R k × k ⊕ E ∗ ) → T (R k × k ⊕ E ∗ ). ξ = ξAY A + ξ α Xα + ξ A α V α A ∈ Sec(T E (R k × k ⊕ E ∗ )) entonces, reescribiendo la expresión (5.17) para este caso particular obtenemos, ρ p∗ ∂ (ξ) = ξA ∂tA + ρiαξ α ∂ ∂q i + ξA α ∂ ∂y A α ∈ X(R k × k ⊕ E ∗ ) . (8.36) (5) El corchete de Lie de secciones de τ k queda determinado a partir del Rk × ⊕E ∗ corchete de los elementos de una base de secciones, [Y A , Y B ] p∗ [Xα, Xβ ] p∗ = 0 , [Y A , Xα ] p∗ = C γ αβ Xγ , [Xα, V β B ]p∗ = 0 , [Y A , V β B ]p∗ = 0 , [Vα A , Vβ B ]p∗ = 0 , = 0 . (8.37) (6) Si {YA, Xα , VA α} es la base dual de {YA , Xα, Vα A }, de las expresiones (5.20) que caracterizan la diferencial exterior en el algebroide prolongación obtenemos que d TE (Rk × k ⊕E ∗ ) ∂f f = ∂tA YA + ρ i ∂f α ∂qi Xα + ∂f ∂yA α para cada f ∈ C ∞ (R k × k ⊕ E ∗ ) y además d TE (R k × k ⊕E ∗ ) YA = 0 , d TE (R k × k ⊕E ∗ ) X γ = − 1 2 Cγ αβ Xα ∧ X β , d TE (R k × k ⊕E ∗ ) V A γ = 0 . V A α , (8.38) (8.39)
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A mi familia
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Bibliografía 387 [100] E. Martíne
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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