Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.4.1 Elementos geométricos. 203
Así los elementos de (TE ) 1 k
k ( ⊕ E ∗ ) son de la forma
((a1q, v1b ∗ q ), . . . , (akq, vkb ∗ q ))
donde cada (aAq, vAb ∗ q ) pertenece a la fibra (TE ( k
⊕ E ∗ ))b ∗ q = Eq ×T Q (Tb ∗ k
( ⊕ E q ∗ )).
Denotaremos por τ k k
⊕E ∗
: (TE ) 1 k
k ( ⊕ E ∗ ) → k
⊕ E ∗ la proyección canónica dada por:
τ k k
⊕E∗ ((a1q, v1b ∗ q ), . . . , (akq, vk ∗ bq )) = b ∗ q .
Denominamos k-prolongación de E sobre τ ∗ : k
⊕ E ∗ → Q al fibrado
τ k k
⊕E ∗
: (T E ) 1 k( k
⊕ E ∗ ) → k
⊕ E ∗ .
En la descripción hamiltoniana k-simpléctica en algebroides de lie nos interesará
considerar secciones de este fibrado. Además a partir del ancla
τ ∗
ρ : T E ( k
⊕ E ∗ ) → T ( k
⊕ E ∗ )
podemos definir un campo de k-vectores en k
⊕ E ∗ asociado a cada sección de τ k k
tal como veremos en los dos resultados siguientes:
Lema 5.42 Sea ξ : k
⊕ E ∗ → (TE ) 1 k
k ( ⊕ E ∗ ) una sección de la proyección τ k k
⊕E ∗
. En-
k
tonces ξ define una familia {ξ1, . . . , ξk} de secciones de τ k
⊕E ∗:
⊕ E ∗ → TE ( k
⊕ E ∗ ).
Demostración:
Teniendo en cuenta que (TE ) 1 k
k ( ⊕ E ∗ ) es, por definición, la suma de Whitney de
k copias del fibrado prolongación TE ( k
⊕ E ∗ ), la familia {ξ1, . . . , ξk} se obtiene sin
más que considerar la proyección sobre cada una de las copias tal como muestra el
siguiente diagrama para cada A = 1, . . . , k.
(TE ) 1 k
k ( ⊕ E ∗ ) = TE ( k
⊕ E ∗ )⊕ k . . . ⊕TE ( k
⊕ E ∗ )
τ k,A
k
⊕E ∗
k
⊕ E ∗
ξ
ξA
k
E T ( ⊕ E ∗ )
⊕E ∗
,