Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

238 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
Teorema 6.13 Sea H : M → R una función hamiltoniana definida sobre una
variedad k-cosimpléctica (M, η A , ω A , V ) y X = (X1, . . . , Xk) un campo de k-vectores
en M tal que
ηA (XB) = δA B , 1 ≤ A, B ≤ k
k
ıXAωA k
= dH − RA(H)η A .
A=1
A=1
(6.9)
Si ψ : R k → M, ψ(t) = (t A , ψ i (t), ψ A i (t)) es una sección integral del campo de
k-vectores X, entonces ψ es una solución de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-
Weyl (6.6).
Demostración:
Sea X = (X1, . . . , Xk) un campo de k-vectores en M solución de (6.9).
El Teorema de Darboux 6.2 nos dice que X = (X1, . . . , Xk) se escribe localmente
como sigue
∂
i ∂
XA = (XA)B + (XA) B
∂t ∂q i + (XA) B ∂
i
entonces, si X = (X1, . . . , Xk) es solución de (6.9) se tienen las siguientes identidades,
(XA)B = δ B A,
∂H
∂p A i
= (XA) i ,
∂H
= −
∂qi ∂p B i
k
A=1
(XA) A i . (6.10)
Supongamos que X = (X1, . . . , Xk) es integrable y ψ : R k → M es una sección
integral de X, localmente dada por
entonces
ψ(t) = (t A , ψ i (t), ψ A i (t)),
∂ψ i
∂t B = (XB) i ◦ ψ,
∂ψ A i
∂t B = (XB) A i ◦ ψ . (6.11)
Por tanto, de (6.10) y (6.11) obtenemos que ψ(t) = (t, ψ i (t), ψ A i (t)) es solución
de las siguientes ecuaciones
∂H
∂q i
ψ(t)
= −
k
A=1
∂ψ A i
∂t A
,
t
∂H
∂p A i
ψ(t)
= ∂ψi
∂t A
,
t