Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.1.1 Elementos geométricos. 311
Si ξ se escribe localmente como sigue:
ξ = ξAY A + ξ α Xα + ξ α AV A α ∈ Sec(T E (R k × k
⊕ E))
entonces, reescribiendo la expresión (5.17) para este caso particular obtenemos,
ρ p ∂
(ξ) = ξA
∂tA + ρi α ∂
αξ
∂
∂qi + ξα A
∂yα A
(5) El corchete de Lie de secciones de τ R k × k
corchete de los elementos de una base de secciones,
⊕E
∈ X(R k × k
⊕ E) . (8.5)
queda determinado a partir del
[Y A , Y B ] p = 0 , [Y A , Xα ] p = 0 , [Y A , V B β ]p = 0 ,
[Xα, Xβ ] p = C γ
αβ Xγ , [Xα, V B β ]p = 0 , [V A α, V B β ]p = 0 .
(8.6)
(6) Si {YA, X α , V α A } es la base dual de {YA , Xα, V A α}, de las expresiones (5.20) que
caracterizan la diferencial exterior en el algebroide prolongación obtenemos
que
d TE (Rk × k
⊕E) ∂f
f =
∂tA YA + ρ i ∂f
α
∂qi Xα + ∂f
∂yα A
para cada f ∈ C ∞ (R k × k
⊕ E) y además
d TE (R k × k
⊕E) YA = 0 ,
d TE (R k × k
⊕E) X γ = − 1
2 Cγ
αβ Xα ∧ X β ,
d TE (R k × k
⊕E) V γ
A
= 0 .
V α A , (8.7)
(8.8)
A lo largo de esta sección denotaremos la diferencial exterior d TE (R k × k
⊕E) simplemente
por d.
Observación 8.1 En el caso particular E = T Q la variedad T E (R k × k
⊕ E) se
identifica con T (R k × T 1 k Q).