Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.3 Formalismo lagrangiano. 179
Definición 5.28 Sea L : k
⊕ E → R una función lagrangiana. La función energía
EL : k
⊕ E → R
asociada al lagrangiano L se define como sigue
EL =
k
ρ τ ( ∆A)L − L .
A=1
donde ρ τ ( ∆A) ∈ X( k
⊕ E) son los campos de vectores asociados a las secciones de
Liouville ∆A.
De (5.25) y (5.35) se deduce que EL tiene la siguiente expresión local:
EL =
k
∂L
y
A=1
α A
∂yα A
− L . (5.46)
Observación 5.29 Si consideramos el caso particular E = T Q la función EL coincide
con la función energía del formalismo k-simpléctico estándar, véase [56, 107, 119]
y el capítulo 1 de esta memoria.
Cuando k = 1 obtenemos la definición de la función energía de la Mecánica
lagrangiana en algebroides de Lie, véase, por ejemplo, E. Martínez [96].
C. Morfismos.
En la formulación lagrangiana k-simpléctica, una solución de las ecuaciones de
Euler-Lagrange es un campo
φ : R k → Q
tal que su primera prolongación
φ (1) : R k → T 1 k Q
verifica las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange, esto es,
k ∂
∂tA
∂L
t
A=1
∂v i
A
φ (1) (t)
= ∂L
∂q i
φ (1) (t)
, 1 ≤ i ≤ n .