Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2.4 Simetrías lagrangianas gauge 73
Proposición 2.42 Sea (T 1 k Q, ωA L , EL) un sistema lagrangiano k-simpléctico. En-
tonces, Φ: T 1 k Q → T 1 k Q es una simetría lagrangiana de Cartan natural si, y sólo si,
es una simetría lagrangiana gauge natural.
Demostración:
Si Φ = T 1 k (ϕ) para algún difeomorfismo ϕ: Q → Q, por el Lemma 2.41 se tiene
por tanto
Φ ∗ ω A L = ω A Φ ∗ L , Φ ∗ EL = EΦ ∗ L
Φ ∗ ω A L = ωA L
Φ ∗ EL = EL
⇐⇒
ω A Φ ∗ L = ω A L
EΦ ∗ L = EL
esto es, Φ es una simetría lagrangiana de Cartan natural (véase definición 2.21) si, y
sólo si, L y Φ ∗ L son lagrangianos gauge equivalentes y por tanto, Φ es una simetría
lagrangiana gauge natural.
Este resultado también se tiene para simetrías lagrangianas infinitesimales sin
más que considerar la versión infinitesimal del Lema 2.41.
En particular, si
(T 1 k ϕ) ∗ L = L
entonces L y (T 1 k ϕ)∗L son lagrangianos gauge equivalentes. Por la definición 2.39
obtenemos que T 1 k ϕ es una simetría lagrangiana gauge natural y por la proposición
2.42 es una simetría de Cartan lagrangiana natural.
De modo análogo se prueba la versión infinitesimal: Z C (L) = 0 entonces Z C
simetría de Cartan lagrangiana infinitesimal natural.
Finalmente, podemos afirmar una versión particular del Teorema de Noether
para ciertas simetrías lagrangianas naturales :
Teorema 2.43 Sea Y ∈ X((T 1 k )Q) una simetría de Cartan lagrangiana infinitesi-
mal natural de un sistema lagrangiano k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L , EL), con Y = Z C ,
para algún Z ∈ X(T 1 k Q). Si
entonces las funciones
Z C (L) = 0
F A = Z VA (L), 1 ≤ A ≤ k,