Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.2.1 Estructura k-cosimpléctica. 283
Sea X un campo de vectores con expresión local
∂ ∂
X = XA + Xi
∂tA con XA, X i , X A i ∈ C ∞ (R k × (T 1 k )∗ Q).
y así
∂q i + XA i
Puesto que ω A ∇ = −dθA ∇ a partir de la expresión local (7.21) de θA ∇ obtenemos
ω A ∇ = −d(p A i (dq i − Γ i Bdt B )) = dq i ∧ dp A i + d(p A i Γ i B) ∧ dt B , (7.24)
ıXω A ∇ =
−
Por lo tanto, ıXω A ∇
XCpA i
∂Γi B
∂tC + Xjp A i
X A i + XBp A j
X i = XBΓ i B ,
X A i = −XBp A j
0 = XCp A i
∂Γ j
B
∂q i
= 0 , 1 ≤ A ≤ k, si, y sólo si,
∂Γ j
B
,
∂qi ∂Γ i B
∂t C + Xj p A i
o equivalentemente, si X está localmente dado por
∂ ∂
X = XB
∂tB + ΓiB ∂qi − pA j
∂
∂p A i
∂Γ i B
∂q j + XA i Γ i B − XCp A i
dq i + (X i − XBΓ i B ) dpA i .
∂Γ i B
∂q j + XA i Γ i B − XCp A i
∂Γ j
B
∂q i
∂
∂p A i
,
∂Γi C
∂tB
dtB ∂Γi C
,
∂tB y además, las funciones X1, . . . , Xk satisfacen las identidades
XBp A
∂Γ
j
j
C
B
∂t
∂Γj B
−
∂t C + Γi ∂Γ
B
j
C
∂q i − Γi ∂Γ
C
j
B
∂q i
= 0 , 1 ≤ A, C ≤ k . (7.25)
Teniendo en cuenta la expresión local (7.25) de la curvatura R∇, se observa que
∂Γ j
C ∂Γj
− B
∂t
B
∂t C + ΓiB ∂Γ j
C
∂q i − Γi C
∂Γ j
B
∂q i