Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

330 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
Sea ahora Φ = (Φ, Φ) un morfismo de algebroides de Lie entre τ R k : T R k → R k
y τ : E → Q y
Φ : R k → R k × k
⊕ E
la aplicación asociada.
Si Φ : R k → R k × k
⊕ E es una sección integral del sopde ξ y
Φ(t) = (t, φ i (t), φ α A(t))
es la expresión local de Φ entonces de (8.20), (8.27), (8.30) y (8.31) obtenemos
k ∂
∂tA
∂L
Φ(t)
A=1
∂y α A
∂φi ∂tA
t
= ρ i α
∂L
∂qi
Φ(t)
= φ α A (t)ρi α ,
0 = ∂φα A
∂t B
t
− ∂φα B
∂t A
− φ β
A (t)Cγ
t
αβ
∂L
∂y γ
,
Φ(t)
A
+ C α βγφ β
B (t)φγ
A (t)
donde la última ecuación es consecuencia de que Φ es un morfismo de algebroides
de Lie. Denominamos a estas ecuaciones ecuaciones de Euler-Lagrange escritas
en términos de algebroides de Lie.
E. Caso particular: formalismo lagrangiano k-cosimpléctico estándar.
Como punto y final de esta sección consideramos interesante señalar que el formalismo
lagrangiano k-cosimpléctico estándar (véase la Sección 6.2.3) es un caso
particular del formalismo lagrangiano en algebroides de Lie, cuando E = T Q, la
aplicación ancla ρ es la identidad en T Q, (en este caso las constantes de estructura
son C γ
αβ = 0).
En este caso se tiene:
R k × k
⊕ E se identifica con R k × T 1 k Q, TE (R k × k
⊕ E) con T (R k × T 1 k Q) y
(T E ) 1 k (Rk × k
⊕ E) con T 1 k (Rk × T 1 k Q).