Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.2.3 Formalismo lagrangiano: ecuaciones de Euler - Lagrange. 251
Recíprocamente si φ : Rk → Q es cualquier aplicación tal que
∂ 2 φ i
= (XA) i B(φ [1] (t)),
∂t A ∂t B
t
entonces φ [1] es una sección integral de (X1, . . . , Xk).
6.2.3. Formalismo lagrangiano: ecuaciones de Euler - Lagrange.
Comenzamos esta subsección considerando un ejemplo de las ecuaciones de campo
de Euler-Lagrange. A continuación establecemos un principio variacional del que
se deducen dichas ecuaciones para finalizar la sección dando la descripción geométrica
de las mismas desarrollada por M. de León et. al. en [84].
A. Ejemplo: la membrana vibrante.
Consideramos las ecuaciones del movimiento asociadas al sistema dado por una
membrana elástica rectangular que en su posición de equilibrio coincide con el plano
XY y que vibra transversalmente.
Supongamos que, como acabamos de comentar, estudiamos las vibraciones transversales
de una membrana elástica delgada de densidad uniforme σ sometida a una
tensión T . Si en la posición de equilibrio la membrana coincide con el plano XY,
entonces las vibraciones transversales de la membrana φ están gobernadas por la
ecuación de ondas bidimensional
1
c 2
∂2φ ∂(t1 ) 2 = ∂2φ ∂(t2 ) 2 + ∂2φ ∂(t3 ) 2
⋄
(6.33)
donde c 2 = T/σ, siendo c la velocidad de propagación de la onda y de modo que las
soluciones son aplicaciones
φ : R 3 → R
(t 1 , t 2 , t 3 ) ↦→ φ(t 1 , t 2 , t 3 ) .
Estos campos φ describen en cada punto (t 1 , t 2 , t 3 ) el desplazamiento vertical del
punto (t 2 , t 3 ) de la membrana situada en el plano XY en el instante de tiempo t = t 1 .