Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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280 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k . Definición 7.12 Sean ∇ una conexión en ˆπ Rk : Rk × Q → Rk y YA ∈ X(Rk × Q) los campos de vectores asociados a la conexión ∇, esto es, ∂ YA = ∂tA H , A = 1, . . . , k. Se define la función energía lagrangiana E ∇ L y la conexión ∇ por E ∇ L = − k A=1 ı Y 1 A asociada con el lagrangiano L Θ A L , (7.17) donde Y 1 A ∈ X(Rk × T 1 k Q) denota el levantamiento natural de YA ∈ X(R k × Q) a R k × T 1 k Q. Consideremos un sistema local de coordenadas (t A , q i ) en un abierto U ⊂ R k ×Q. Teniendo en cuenta que los campos de vectores YA, 1 ≤ A ≤ k asociados a la conexión ∇ tienen, en este sistema de coordenadas locales, la expresión local YA = ∂ ∂t A + Γi A entonces, de la expresión local del levantamiento de campos de vectores a R k ×T 1 k Q, (7.14), se obtiene Y 1 A = ∂ ∂ ∂ ∂qi ∂tA + ΓiA ∂qi + (∂Γi A + vj ∂tB B Así de la expresión local (7.12) de Θ A L de E ∇ L : E ∇ L = k A=1 ∂Γi A ∂ ) ∂qj ∂vi . (7.18) B y de (7.18) se obtiene la expresión local ∂L (v i A − Γ i A) − L . (7.19) ∂v i A 7.2. Formalismo hamiltoniano k-cosimpléctico con conexiones llanas. En esta sección mostraremos como la existencia de una conexión con curvatura cero permite la construcción de una nueva estructura k-cosimpléctica en la variedad R k × (T 1 k )∗ Q.
7.2.1 Estructura k-cosimpléctica. 281 Esta estructura k-cosimpléctica permite establecer las ecuaciones geométricas similares a las ecuaciones geométricas de Hamilton y además se demuestra que las soluciones en este caso son las mismas que en formalismo hamiltoniano k-cosimpléctico estándar. 7.2.1. Estructura k-cosimpléctica. Para definir la estructura k-cosimpléctica en R k × (T 1 k )∗ Q, consideramos las proyecciones naturales y donde π A 2 : R k × (T 1 k )∗ Q → T ∗ Q (t, α1q, . . . , αkq) ↦→ π A 2 (t, α1q, . . . , αkq) = αAq πQ: T ∗ Q → Q αq ↦→ πQ(αq) = q En la sección 6.1.1.B. hemos definido las 1-formas canónicas θ A como θ A = (π A 2 ) ∗ θ , A = 1 . . . , k . Usando la definición de la 1-forma de Liouville θ ∈ Λ1 (T ∗Q) obtenemos θ A (w(t,q))( Xw ) = αAq ◦ (πQ)∗(αAq) ◦ (π (t,q) A 2 )∗(w(t,q)) ( Xw ) , (t,q) w(t,q) = (t, α1q, . . . , αkq) ∈ R k × (T 1 k ) ∗ Q y Xw (t,q) ∈ Tw (t,q) (R k × (T 1 k ) ∗ Q), esto es, las 1-formas θ A están definidas a partir de la composición: Tw (R (t,q) k × (T 1 k )∗Q) (πA 2 )∗(w (t,q)) TαAq (T ∗Q) (πQ)∗(αAq) TqQ La conexión ∇ nos permite construir otra familia de 1-formas en la variedad R k × (T 1 k )∗ Q del siguiente modo: Definición 7.13 La composición Tw (t,q) (R k × (T 1 k )∗ Q) v V(t,q)(ˆπ Rk) ⊂ T(t,q)(Rk × Q) ((πQ)1,0)∗w (t,q) (πQ)∗(t,q) T(t,q)(Rk × Q) TqQ αAq αAq v R R
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A mi familia
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+ ∂H ∂p B j = 0 ∂H ∂qj
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A continuación multiplicamos la ex
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En efecto, consideramos la siguient
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Apéndice B Espacios vectoriales k-
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(2) ω A (u, v) = 0 (A = 1, . . . ,
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Apéndice C Índice de símbolos En
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Bibliografía [1] R. Abraham-J. E.
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 387 [100] E. Martíne
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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