Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2.3 lagrangianos equivalentes. 65
Así, reescribiendo el Teorema de Noether 2.24 para esta situación obtenemos:
Proposición 2.31 Sea Z ∈ X(Q) un campo de vectores en Q verificando que
Z C (L) = dT g
para alguna aplicación g = (g1 , . . . , gk ): Q → Rk , en donde ZC denota el levantamiento
completo de Z a T 1 k Q. Entonces las funciones
F A = Z VA (L) − (τ k Q) ∗ g A , 1 ≤ A ≤ k,
definen una ley de conservación para las ecuaciones de Euler-Lagrange (1.44).
Demostración:
Es una consecuencia del Teorema 2.24 y la observación que se acaba de realizar.
Observación 2.32 En el caso particular k = 1, el resultado anterior puede encontrarse
en J. Cariñena et al. [17] y Marmo et al. [93].
2.2.3. lagrangianos equivalentes.
Dado un sistema lagrangiano k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L , EL), sabemos que los levantamientos
de difeomorfismos y campos de vectores preservan los elementos geométricos
canónicos de T 1 k Q (véase Lema 1.39).
Sin embargo, la estructura k-simpléctica dada por las formas ωA L no es canónica,
puesto que depende de la elección de la función lagrangiana L, y en consecuencia no
es invariante por estos levantamientos canónicos.
Así, dado un difeomorfismo Φ: T 1 k Q → T 1 k Q o un campo de vectores Y ∈ X(T 1 k Q),
una condición suficiente para asegurar las condiciones (a) y (b) de la definición 2.21
será pedir que Φ o Y dejen invariante la estructura k-tangente J 1 , . . . , J k y el campo
de vectores de Liouville ∆, (por ejemplo, Φ e Y siendo los levantamientos canónicos
de un difeomorfismo y un campo de vectores en Q), y que la función lagrangiana L
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