Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

216 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
De (5.6), (5.66) y (5.75) obtenemos:
[(T E Leg, Leg) ∗ Θ A ]bq(uq, vbq) = Θ A Leg(bq) (uq, (Leg)∗(bq)(vbq))
= [Leg(bq)] A (uq) = Θ A L (bq)(uq, vbq) .
Por último, por ser (T E Leg, Leg) un morfismo de algebroides de Lie y teniendo
en cuenta la identidad que acabamos de demostrar se verifica:
(T E Leg, Leg) ∗ Ω A = −(T E Leg, Leg) ∗ (d TE ( k
⊕E ∗ ) Θ A )
= −d TE ( k
⊕E) (T E Leg, Leg) ∗ Θ A
= −d TE ( k
⊕E) Θ A L = Ω A L .
Observación 5.52 En el caso particular k = 1 este teorema se corresponde con el
teorema 3.12 de [72].
En el caso E = T Q y ρ = idT Q la afirmación de este teorema se corresponde con la
relación entre las formas lagrangianas y hamiltonianas del formalismo k-simpléctico
estándar, véase el capítulo 1 de esta memoria.
Si la transformación de Legendre Leg es un difeomorfismo global diremos que
el lagrangiano es hiperregular. En este caso ambos formalismos, el lagrangiano y el
hamiltoniano, son equivalentes.
Cuando el lagrangiano L es hiperregular, existe un hamiltoniano H definido por
H = EL ◦ (Leg) −1 ,
donde EL es la función energía asociada a L definida en (5.46) y (Leg) −1 es la inversa
de la transformación de Legendre.
k Leg−1
∗
k
⊕ E ⊕ E
EL
H
R
⋄